Se u e v são vetores tais que ||u + v|| = 10 e ||u - v|| = 8, determine <u,u></u,v>.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois vetores, u e v, e nos diz que as magnitudes de e são 10 e 8, respectivamente. A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Vetorial, especificamente o conceito de produto interno (ou produto escalar). Para resolver, precisaremos lembrar de como expandir as normas desses vetores e relacionar com o produto interno entre u e v.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor, como , é o comprimento desse vetor e pode ser expressa em termos do produto interno: . Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos expandir esses produtos internos usando a distributiva:

Passo 4

Sabemos que e , então:

Passo 5

Vamos chamar de A e de B para simplificar os cálculos. Assim, nossas equações ficam:

Passo 6

Agora, vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar A e B:

Passo 7

Resolvendo para :

Resposta

O produto interno é igual a 9.

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