Demonstrar que os vetores: (2,0,0,-2),(2,0,-2,0) e (8,-2,-4,-2) conformam uma base de W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem três vetores: (2,0,0,-2), (2,0,-2,0) e (8,-2,-4,-2). A questão pede para mostrar que esses vetores formam uma base para o espaço W. Isso está relacionado ao estudo de bases e independência linear na Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar verificar se esses vetores são linearmente independentes e se geram o espaço W.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.

Passo 3

Para verificar se os vetores são linearmente independentes, vamos montar uma combinação linear igual a zero e ver se isso só acontece quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, queremos encontrar se existem números a, b, c tais que:
a cdot (2,0,0,-2) + b cdot (2,0,-2,0) + c cdot (8,-2,-4,-2) = (0,0,0,0)

Passo 4

Vamos escrever isso componente por componente:
  1. Primeira componente:
2a + 2b + 8c = 0
  1. Segunda componente:
0a + 0b - 2c = 0
  1. Terceira componente:
0a - 2b - 4c = 0
  1. Quarta componente:
-2a + 0b - 2c = 0

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações:
2a + 2b + 8c = 0 -2c = 0 -2b - 4c = 0 -2a - 2c = 0
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 6

Da segunda equação:
-2c = 0 Rightarrow c = 0

Passo 7

Com c = 0, substituímos na terceira equação:
-2b - 4(0) = 0 Rightarrow -2b = 0 Rightarrow b = 0

Passo 8

Agora, com b = 0 e c = 0, substituímos na quarta equação:
-2a - 2(0) = 0 Rightarrow -2a = 0 Rightarrow a = 0

Passo 9

Encontramos que a única solução para a, b, c é a = b = c = 0. Isso significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 10

Como temos três vetores linearmente independentes e eles estão no espaço W, concluímos que esses vetores geram o espaço W e são linearmente independentes, formando assim uma base para W.

Resposta

Os vetores (2,0,0,-2), (2,0,-2,0) e (8,-2,-4,-2) são uma base para o espaço W porque são linearmente independentes e geram W.

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