Demonstrar que os vetores: e conformam uma base de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem três vetores: , e . A questão pede para mostrar que esses vetores formam uma base para o espaço . Isso está relacionado ao estudo de bases e independência linear na Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar verificar se esses vetores são linearmente independentes e se geram o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.
Passo 3
Para verificar se os vetores são linearmente independentes, vamos montar uma combinação linear igual a zero e ver se isso só acontece quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, queremos encontrar se existem números , , tais que:
Passo 4
Vamos escrever isso componente por componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Quarta componente:
Passo 5
Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 6
Da segunda equação:
Passo 7
Com , substituímos na terceira equação:
Passo 8
Agora, com e , substituímos na quarta equação:
Passo 9
Encontramos que a única solução para , , é . Isso significa que os vetores são linearmente independentes.
Passo 10
Como temos três vetores linearmente independentes e eles estão no espaço , concluímos que esses vetores geram o espaço e são linearmente independentes, formando assim uma base para .
Resposta
Os vetores , e são uma base para o espaço porque são linearmente independentes e geram .