Demonstrar que os vetores: e conformam uma base de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem três vetores: , e . A questão pede para mostrar que esses vetores formam uma base para o espaço . Isso está relacionado ao estudo de bases e independência linear na Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar verificar se esses vetores são linearmente independentes e se geram o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.

Passo 3

Para verificar se os vetores são linearmente independentes, vamos montar uma combinação linear igual a zero e ver se isso só acontece quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, queremos encontrar se existem números , , tais que:

Passo 4

Vamos escrever isso componente por componente:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:
  1. Quarta componente:

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 6

Da segunda equação:

Passo 7

Com , substituímos na terceira equação:

Passo 8

Agora, com e , substituímos na quarta equação:

Passo 9

Encontramos que a única solução para , , é . Isso significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 10

Como temos três vetores linearmente independentes e eles estão no espaço , concluímos que esses vetores geram o espaço e são linearmente independentes, formando assim uma base para .

Resposta

Os vetores , e são uma base para o espaço porque são linearmente independentes e geram .

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