Seja T: P2 P2 a transformação linear definida por
T(p(t))=p^prime(t)-2 p(t)
c) Resolva, em P2, a equação linear p^prime(t)-2 p(t)=1+t+t^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que resolver a equação linear no conjunto dos polinômios de grau no máximo 2, chamado . Para isso, vamos precisar entender como manipular equações diferenciais simples envolvendo polinômios e aplicar técnicas básicas de álgebra. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos supor que o polinômio p(t) = a t^2 + b t + c que estamos procurando tem a forma geral de um polinômio de segundo grau:
onde , e são coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de p'(t) = ddt(a t^2 + b t + c) = 2a t + b em relação a :

Passo 4

Substituímos (2a t + b) - 2(a t^2 + b t + c) = 1 + t + t^2 e na equação original :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão à esquerda:
2a t + b - 2a t^2 - 2b t - 2c = 1 + t + t^2
Agora, organizando os termos por potências de -2a t^2 + (2a - 2b) t + (b - 2c) = 1 + t + t^2 :

Passo 6

Para que as duas expressões sejam iguais para todo -2a = 1 2a - 2b = 1 b - 2c = 1 , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, igualamos os coeficientes de , e o termo constante:

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da primeira equação: 2(-12) - 2b = 1 -1 - 2b = 1 -2b = 2 b = -1 -1 - 2c = 1 -2c = 2 c = -1
  2. Substituindo na segunda equação:
  1. Substituindo na terceira equação:

Resposta

O polinômio que satisfaz a equação é:
p(t) = -12 t^2 - t - 1

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