Seja
a transformação linear definida por
c) Resolva, em
, a equação linear
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que resolver a equação linear
no conjunto dos polinômios de grau no máximo 2, chamado
. Para isso, vamos precisar entender como manipular equações diferenciais simples envolvendo polinômios e aplicar técnicas básicas de álgebra. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos supor que o polinômio
que estamos procurando tem a forma geral de um polinômio de segundo grau:
onde
,
e
são coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação original
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão à esquerda:
Agora, organizando os termos por potências de
:
Passo 6
Para que as duas expressões sejam iguais para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, igualamos os coeficientes de
,
e o termo constante:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
-
Da primeira equação:
2(-12) - 2b = 1 -1 - 2b = 1 -2b = 2 b = -1 -1 - 2c = 1 -2c = 2 c = -1 -
Substituindo
na segunda equação:
- Substituindo
na terceira equação:
Resposta
O polinômio que satisfaz a equação é: