Demonstre que: (20 pontos)
ln x+11-x=2 sumn=1^infty x^2 n-12 n-1 ;|x|<1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos demonstrar que, para qualquer ln x+11-x = 2 sumn=1^infty x^2n-12n-1 cujo valor absoluto seja menor que 1 ( ), a seguinte igualdade é verdadeira:
Aqui, trabalharemos com logaritmos naturais e séries infinitas. Vamos precisar conhecer a expansão em série de Taylor para a função .

Passo 2

Vamos começar manipulando a expressão do lado esquerdo, ln 1+x1-x = ln(1+x) - ln(1-x) . Sabemos que:
ln(1+x) = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^nn
Agora, vamos lembrar que a série de Taylor para ln(1 - x) = -sumn=1^infty x^nn em torno de 0, válida para ln 1+x1-x = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^nn + sumn=1^infty x^nn = 2 sumn=1^infty x^2n-12n-1 , é:
E para :
Portanto, substituindo na expressão inicial:

Passo 3

Vamos detalhar um pouco mais a última parte. Observe que quando somamos as duas séries:
sumn=1^infty (-1)^n+1 x^nn + sumn=1^infty x^nn
A primeira série contém termos com expoentes ímpares que se cancelam parcialmente com a segunda série. Especificamente, apenas os termos com potências ímpares sobrevivem, já que os termos de potência par se cancelam. Isso nos deixa com:
2 sumn=1^infty x^2n-12n-1
Portanto, demonstramos que:
ln 1+x1-x = 2 sumn=1^infty x^2n-12n-1, |x| <1

Resposta

Portanto, demonstramos que para ln x+11-x=2 sumn=1^infty x^2n-12n-1 :

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