Demonstre que: (20 pontos)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos demonstrar que, para qualquer
cujo valor absoluto seja menor que 1 (
), a seguinte igualdade é verdadeira:
Aqui, trabalharemos com logaritmos naturais e séries infinitas. Vamos precisar conhecer a expansão em série de Taylor para a função
.
Passo 2
Vamos começar manipulando a expressão do lado esquerdo,
. Sabemos que:
Agora, vamos lembrar que a série de Taylor para
em torno de 0, válida para
, é:
E para
:
Portanto, substituindo na expressão inicial:
Passo 3
Vamos detalhar um pouco mais a última parte. Observe que quando somamos as duas séries:
A primeira série contém termos com expoentes ímpares que se cancelam parcialmente com a segunda série. Especificamente, apenas os termos com potências ímpares sobrevivem, já que os termos de potência par se cancelam. Isso nos deixa com:
Portanto, demonstramos que:
Resposta
Portanto, demonstramos que para
:
Exercícios relacionados
A equação de Van der Waals de
mols de um gás é dada por: (10 pontos)
Onde P é a pressão, V é o volume T é a temperatura do gás. A constante R é a constante universal de gás e a e b são constantes positivas que são características de um gás em particular. Calcule
e
Seja
um conjunto. Prove que a relação
é uma relação reflexiva, antissimétrica e transitiva em
.
A temperatura em um ponto
é dada por:
Determine a taxa de variação da temperatura no ponto
em direção ao ponto (
. (10 pontos)
Determine os pontos do cone
que estão mais próximos do ponto (
). Onde