Demonstre que: (20 pontos)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos demonstrar que, para qualquer cujo valor absoluto seja menor que 1 ( ), a seguinte igualdade é verdadeira:
Aqui, trabalharemos com logaritmos naturais e séries infinitas. Vamos precisar conhecer a expansão em série de Taylor para a função .

Passo 2

Vamos começar manipulando a expressão do lado esquerdo, . Sabemos que:
Agora, vamos lembrar que a série de Taylor para em torno de 0, válida para , é:
E para :
Portanto, substituindo na expressão inicial:

Passo 3

Vamos detalhar um pouco mais a última parte. Observe que quando somamos as duas séries:
A primeira série contém termos com expoentes ímpares que se cancelam parcialmente com a segunda série. Especificamente, apenas os termos com potências ímpares sobrevivem, já que os termos de potência par se cancelam. Isso nos deixa com:
Portanto, demonstramos que:

Resposta

Portanto, demonstramos que para :

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A equação de Van der Waals de mols de um gás é dada por: (10 pontos)
Onde P é a pressão, V é o volume T é a temperatura do gás. A constante R é a constante universal de gás e a e b são constantes positivas que são características de um gás em particular. Calcule e
Seja um conjunto. Prove que a relação é uma relação reflexiva, antissimétrica e transitiva em .
A temperatura em um ponto é dada por:
Determine a taxa de variação da temperatura no ponto em direção ao ponto ( . (10 pontos)
Determine os pontos do cone que estão mais próximos do ponto ( ). Onde