Demonstre que: (20 pontos)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos demonstrar que, para qualquer
cujo valor absoluto seja menor que 1 (
), a seguinte igualdade é verdadeira:
Aqui, trabalharemos com logaritmos naturais e séries infinitas. Vamos precisar conhecer a expansão em série de Taylor para a função
.
Passo 2
Vamos começar manipulando a expressão do lado esquerdo,
. Sabemos que:
Agora, vamos lembrar que a série de Taylor para
em torno de 0, válida para
, é:
E para
:
Portanto, substituindo na expressão inicial:
Passo 3
Vamos detalhar um pouco mais a última parte. Observe que quando somamos as duas séries:
A primeira série contém termos com expoentes ímpares que se cancelam parcialmente com a segunda série. Especificamente, apenas os termos com potências ímpares sobrevivem, já que os termos de potência par se cancelam. Isso nos deixa com:
Portanto, demonstramos que:
Resposta
Portanto, demonstramos que para
: