Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar a inversa da matriz que foi dada. Esse tipo de problema faz parte da álgebra linear, onde a gente trabalha com matrizes e suas propriedades. Para encontrar a inversa de uma matriz quadrada, precisamos verificar se ela é invertível (ou seja, se o determinante dela é diferente de zero) e, se for o caso, calcular a matriz inversa usando o determinante e a matriz adjunta.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a matriz é invertível. Para isso, precisamos calcular o determinante de . Se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inversa.
Passo 3
Calculando o determinante de . Como é uma matriz 4x4, o cálculo do determinante pode ser um pouco trabalhoso. Vamos expansar o determinante usando a regra de Laplace ou outra técnica que facilite o cálculo. Vou mostrar aqui o cálculo do determinante passo a passo.
Após realizar os cálculos (que envolvem multiplicações e somas de produtos das entradas da matriz), encontramos que:
Como o determinante é 2, que é diferente de zero, a matriz é invertível.
Passo 4
Agora que sabemos que é invertível, vamos calcular a matriz inversa . A fórmula para a inversa de uma matriz é:
Onde é a matriz adjunta de .
Passo 5
Para encontrar a matriz adjunta , precisamos calcular a matriz dos cofatores de e, em seguida, transpor essa matriz.
Primeiro, calculamos os cofatores de cada elemento de . Cada cofator é dado por:
Onde é o menor complementar do elemento na posição , ou seja, o determinante da matriz que sobra quando removemos a -ésima linha e a -ésima coluna de .
Passo 6
Vamos calcular os cofatores para cada elemento de :
Por exemplo, para :
Fazendo todos os cálculos semelhantes para cada , obtemos a matriz de cofatores.
Passo 7
Depois de calcular todos os cofatores, organizamos esses valores em uma matriz e, em seguida, transpondo-a, obtemos a matriz adjunta .
Passo 8
Finalmente, aplicamos a fórmula da inversa:
Multiplicando cada elemento da matriz adjunta por , obtemos a matriz inversa .
Resposta
A inversa da matriz é:
Após calcular os cofatores e a matriz adjunta, substituímos na fórmula acima para obter a matriz inversa completa.