Determine a equação da reta:
mediatriz do segmento de extremidades (3,2) e (-2,-4);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da mediatriz do segmento que tem as extremidades nos pontos (3, 2) e (-2, -4). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como ponto médio, coeficiente angular e reta perpendicular.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o ponto médio do segmento. O ponto médio é o ponto que está exatamente no centro entre os dois extremos. A fórmula para encontrar o ponto médio M(xm, ym) entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
xm = x1 + x22, ym = y1 + y22
No nosso caso, os pontos são (3, 2) e (-2, -4). Então:
xm = 3 + (-2)2 = 12 ym = 2 + (-4)2 = -22 = -1
Portanto, o ponto médio M é (12, -1).

Passo 3

Agora, vamos determinar o coeficiente angular da reta que passa pelos dois pontos dados. O coeficiente angular m de uma reta que passa por (x1, y1) e (x2, y2) é dado por:
m = y2 - y1x2 - x1
Substituindo os valores:
m = -4 - 2-2 - 3 = -6-5 = 65
Então, o coeficiente angular da reta original é 65.

Passo 4

A mediatriz é a reta perpendicular à reta original que passa pelo ponto médio M. Para encontrar o coeficiente angular da mediatriz, usamos que duas retas são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares for -1. Ou seja:
m cdot mmediatriz = -1 65 cdot mmediatriz = -1 mmediatriz = -56
Então, o coeficiente angular da mediatriz é -56.

Passo 5

Agora que temos o coeficiente angular da mediatriz e o ponto por onde ela passa, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
y - y0 = m(x - x0)
Onde (x0, y0) é o ponto médio M(12, -1) e m = -56. Substituindo:
y - (-1) = -56(x - 12) y + 1 = -56x + 512

Passo 6

Vamos simplificar a equação para a forma padrão. Primeiro, vamos isolar y:
y = -56x + 512 - 1 y = -56x + 512 - 1212 y = -56x - 712
Então, a equação da mediatriz está na forma y = mx + b.

Resposta

A equação da mediatriz do segmento é:
y = -56x - 712

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