Determine a equação da reta:
mediatriz do segmento de extremidades e ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da mediatriz do segmento que tem as extremidades nos pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como ponto médio, coeficiente angular e reta perpendicular.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o ponto médio do segmento. O ponto médio é o ponto que está exatamente no centro entre os dois extremos. A fórmula para encontrar o ponto médio entre dois pontos e é:
No nosso caso, os pontos são e . Então:
Portanto, o ponto médio é .

Passo 3

Agora, vamos determinar o coeficiente angular da reta que passa pelos dois pontos dados. O coeficiente angular de uma reta que passa por e é dado por:
Substituindo os valores:
Então, o coeficiente angular da reta original é .

Passo 4

A mediatriz é a reta perpendicular à reta original que passa pelo ponto médio . Para encontrar o coeficiente angular da mediatriz, usamos que duas retas são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares for . Ou seja:
Então, o coeficiente angular da mediatriz é .

Passo 5

Agora que temos o coeficiente angular da mediatriz e o ponto por onde ela passa, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Onde é o ponto médio e . Substituindo:

Passo 6

Vamos simplificar a equação para a forma padrão. Primeiro, vamos isolar :
Então, a equação da mediatriz está na forma .

Resposta

A equação da mediatriz do segmento é:

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Determine a equação da reta:
que tem coeficiente angular -1 e intercepta o eixo no ponto ;
Determine a equação da reta:
que passa pelos pontos e ;
Encontre a inversa das matrizes abaixo:
(b)
Demonstre que se são vetores e é um escalar, então .