Demonstre que é uma base ortonormal, onde e . Essa base é positiva?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que os vetores formam uma base ortonormal. Ortonormal significa que cada vetor tem comprimento 1 (normal) e que todos são perpendiculares entre si (ortogonais). Além disso, também precisamos verificar se essa base é positiva, ou seja, se ela segue a orientação padrão (direita ou mão direita).
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se cada vetor tem comprimento 1. O comprimento de um vetor é dado por:
Vamos calcular o comprimento de cada vetor.
Passo 3
Comprimento de :
Calculando:
Então, tem comprimento 1.
Passo 4
Comprimento de :
Calculando:
Então, também tem comprimento 1.
Passo 5
Comprimento de :
Calculando:
Portanto, também tem comprimento 1.
Passo 6
Agora que vimos que todos os vetores têm comprimento 1, vamos verificar se eles são perpendiculares entre si. Para isso, usamos o produto escalar. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero.
O produto escalar entre dois vetores e é dado por:
Passo 7
Produto escalar entre e :
Então, e são ortogonais.
Passo 8
Produto escalar entre e :
Assim, e também são ortogonais.
Passo 9
Produto escalar entre e :
Portanto, e também são ortogonais.
Passo 10
Até agora, mostramos que todos os vetores têm comprimento 1 e são mutuamente ortogonais. Assim, é uma base ortonormal.
Passo 11
Agora, vamos verificar se essa base é positiva. Isso geralmente significa que a orientação da base segue a regra da mão direita, ou seja, o produto vetorial de e deve resultar em .
Vamos calcular e ver se é igual a .
Passo 12
Calculando :
Primeiro, escrevemos e sem as constantes:
O produto vetorial é dado por:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Fatorando o 2:
Passo 13
Vimos que . Isso confirma que a orientação da base segue a regra da mão direita, ou seja, a base é positiva.
Resposta
Sim, os vetores formam uma base ortonormal positiva.