Demonstre que a, b, c é uma base ortonormal, onde a=1raiz6(imath+2 jmath+k), b= 1raiz2(-imath+k) e c=1raiz3(imath-jmath+k). Essa base é positiva?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que os vetores a, b, c formam uma base ortonormal. Ortonormal significa que cada vetor tem comprimento 1 (normal) e que todos são perpendiculares entre si (ortogonais). Além disso, também precisamos verificar se essa base é positiva, ou seja, se ela segue a orientação padrão (direita ou mão direita).

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se cada vetor tem comprimento 1. O comprimento de um vetor v = ximath + yjmath + zk é dado por:
|v| = raizx^2 + y^2 + z^2
Vamos calcular o comprimento de cada vetor.

Passo 3

Comprimento de a:
a = 1raiz6(imath + 2jmath + k)
Calculando:
|a| = 1raiz6 raiz1^2 + 2^2 + 1^2 = 1raiz6 raiz1 + 4 + 1 = 1raiz6 raiz6 = 1
Então, a tem comprimento 1.

Passo 4

Comprimento de b:
b = 1raiz2(-imath + k)
Calculando:
|b| = 1raiz2 raiz(-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 1raiz2 raiz1 + 0 + 1 = 1raiz2 raiz2 = 1
Então, b também tem comprimento 1.

Passo 5

Comprimento de c:
c = 1raiz3(imath - jmath + k)
Calculando:
|c| = 1raiz3 raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = 1raiz3 raiz1 + 1 + 1 = 1raiz3 raiz3 = 1
Portanto, c também tem comprimento 1.

Passo 6

Agora que vimos que todos os vetores têm comprimento 1, vamos verificar se eles são perpendiculares entre si. Para isso, usamos o produto escalar. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero.
O produto escalar entre dois vetores u e v é dado por:
u cdot v = ux vx + uy vy + uz vz

Passo 7

Produto escalar entre a e b:
a cdot b = (1raiz6)(1raiz2)[(1)(-1) + (2)(0) + (1)(1)] = 1raiz12[-1 + 0 + 1] = 0raiz12 = 0
Então, a e b são ortogonais.

Passo 8

Produto escalar entre a e c:
a cdot c = (1raiz6)(1raiz3)[(1)(1) + (2)(-1) + (1)(1)] = 1raiz18[1 - 2 + 1] = 0raiz18 = 0
Assim, a e c também são ortogonais.

Passo 9

Produto escalar entre b e c:
b cdot c = (1raiz2)(1raiz3)[(-1)(1) + (0)(-1) + (1)(1)] = 1raiz6[-1 + 0 + 1] = 0raiz6 = 0
Portanto, b e c também são ortogonais.

Passo 10

Até agora, mostramos que todos os vetores têm comprimento 1 e são mutuamente ortogonais. Assim, a, b, c é uma base ortonormal.

Passo 11

Agora, vamos verificar se essa base é positiva. Isso geralmente significa que a orientação da base segue a regra da mão direita, ou seja, o produto vetorial de a e b deve resultar em c.
Vamos calcular a times b e ver se é igual a c.

Passo 12

Calculando a times b:
Primeiro, escrevemos a e b sem as constantes:
a = 1raiz6(1, 2, 1)
b = 1raiz2(-1, 0, 1)
O produto vetorial é dado por:
a times b = 1raiz6 1raiz2 imath & jmath & k 1 & 2 & 1 -1 & 0 & 1
Calculando o determinante:
a times b = 1raiz12 [ imath(2 cdot 1 - 1 cdot 0) - jmath(1 cdot 1 - 1 cdot (-1)) + k(1 cdot 0 - 2 cdot (-1)) ]
Simplificando:
a times b = 1raiz12 [ 2imath - (1 + 1)jmath + (0 + 2)k ] = 1raiz12 (2imath - 2jmath + 2k)
Fatorando o 2:
a times b = 2raiz12 (imath - jmath + k) = 22raiz3 (imath - jmath + k) = 1raiz3 (imath - jmath + k) = c

Passo 13

Vimos que a times b = c. Isso confirma que a orientação da base segue a regra da mão direita, ou seja, a base é positiva.

Resposta

Sim, os vetores a, b, c formam uma base ortonormal positiva.

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