Demonstre que é uma base ortonormal, onde e . Essa base é positiva?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que os vetores formam uma base ortonormal. Ortonormal significa que cada vetor tem comprimento 1 (normal) e que todos são perpendiculares entre si (ortogonais). Além disso, também precisamos verificar se essa base é positiva, ou seja, se ela segue a orientação padrão (direita ou mão direita).

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se cada vetor tem comprimento 1. O comprimento de um vetor é dado por:
Vamos calcular o comprimento de cada vetor.

Passo 3

Comprimento de :
Calculando:
Então, tem comprimento 1.

Passo 4

Comprimento de :
Calculando:
Então, também tem comprimento 1.

Passo 5

Comprimento de :
Calculando:
Portanto, também tem comprimento 1.

Passo 6

Agora que vimos que todos os vetores têm comprimento 1, vamos verificar se eles são perpendiculares entre si. Para isso, usamos o produto escalar. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero.
O produto escalar entre dois vetores e é dado por:

Passo 7

Produto escalar entre e :
Então, e são ortogonais.

Passo 8

Produto escalar entre e :
Assim, e também são ortogonais.

Passo 9

Produto escalar entre e :
Portanto, e também são ortogonais.

Passo 10

Até agora, mostramos que todos os vetores têm comprimento 1 e são mutuamente ortogonais. Assim, é uma base ortonormal.

Passo 11

Agora, vamos verificar se essa base é positiva. Isso geralmente significa que a orientação da base segue a regra da mão direita, ou seja, o produto vetorial de e deve resultar em .
Vamos calcular e ver se é igual a .

Passo 12

Calculando :
Primeiro, escrevemos e sem as constantes:
O produto vetorial é dado por:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Fatorando o 2:

Passo 13

Vimos que . Isso confirma que a orientação da base segue a regra da mão direita, ou seja, a base é positiva.

Resposta

Sim, os vetores formam uma base ortonormal positiva.

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c)
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e ;