Demonstre cada afirmação usando a definição de limite com epsilon e de. © lim x 2[x^2-1]=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que o limite de quando se aproxima de 2 é igual a 3, usando a definição de limite com e . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre limites usando a definição formal. Para resolver, vamos precisar entender como ligar e para provar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite usando e . Dizemos que se, para todo , existe um tal que, sempre que , então . No nosso caso, , e .

Passo 3

Vamos começar aplicando a definição. Queremos que |x^2 - 4| < epsilon , ou seja, . Simplificando isso:

Passo 4

Agora, fatorando a expressão dentro do módulo:
|x^2 - 4| = |(x - 2)(x + 2)|
Isso nos dá:
|x - 2| cdot |x + 2| < epsilon

Passo 5

Precisamos controlar |x + 2| < 5 . Vamos supor que . Isso implica que está entre 1 e 3, ou seja, . Assim, está entre 3 e 5, então:

Passo 6

Voltando à nossa desigualdade principal:
|x - 2| cdot |x + 2| < epsilon
Sabendo que |x - 2| cdot 5 < epsilon implies |x - 2| < epsilon5 , podemos escrever:

Passo 7

Agora, definimos de como o mínimo entre 1 e , ou seja:

Passo 8

Com isso, garantimos que se , então , o que prova que o limite é realmente 3.

Resposta

Portanto, .

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