Demonstre cada afirmação usando a definição de limite
e
. ©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que o limite de
quando
se aproxima de 2 é igual a 3, usando a definição de limite com
e
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre limites usando a definição formal. Para resolver, vamos precisar entender como ligar
e
para provar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite usando
e
. Dizemos que
se, para todo
, existe um
tal que, sempre que
, então
. No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Vamos começar aplicando a definição. Queremos que
, ou seja,
. Simplificando isso:
Passo 4
Agora, fatorando a expressão dentro do módulo:
Isso nos dá:
Passo 5
Precisamos controlar
. Vamos supor que
. Isso implica que
está entre 1 e 3, ou seja,
. Assim,
está entre 3 e 5, então:
Passo 6
Voltando à nossa desigualdade principal:
Sabendo que
, podemos escrever:
Passo 7
Agora, definimos
como o mínimo entre 1 e
, ou seja:
Passo 8
Com isso, garantimos que se
, então
, o que prova que o limite é realmente 3.
Resposta
Portanto,
.