Demonstre cada afirmação usando a definição de limite com epsilon e de. (a) lim x c[12 x+3]=12 c+3

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para demonstrar, usando a definição de limite com epsilon e de, que lim x c[12 x+3]=12 c+3. Aqui, estamos trabalhando com o cálculo de limites, especificamente utilizando a definição formal de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que a definição de limite com epsilon e de significa. Queremos mostrar que, para qualquer número positivo epsilon, por menor que seja, existe um número positivo de tal que, se 0 < |x - c| < de, então |12x + 3 - (12c + 3)| < epsilon.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
|12x + 3 - (12c + 3)| = |12x - 12c| = 12|x - c|

Passo 4

Queremos que 12|x - c| < epsilon. Para isso, precisamos encontrar um de tal que:
12|x - c| < epsilon Rightarrow |x - c| < 2epsilon

Passo 5

Então, podemos escolher de. Assim, sempre que 0 < |x - c| < de, teremos:
|12x + 3 - (12c + 3)| < epsilon

Resposta

Demonstramos que para qualquer epsilon > 0, ao escolher de, a condição |12x + 3 - (12c +3)| < epsilon é satisfeita sempre que 0 < |x - c| < de. Portanto, lim x c[12 x+3]=12 c+3 está comprovado usando a definição de limite com epsilon e de.

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