Demonstre cada afirmação usando a definição de limite e . (a)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para demonstrar, usando a definição de limite com e , que . Aqui, estamos trabalhando com o cálculo de limites, especificamente utilizando a definição formal de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que a definição de limite com e significa. Queremos mostrar que, para qualquer número positivo , por menor que seja, existe um número positivo tal que, se , então .
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Passo 4
Queremos que 12|x - c| < epsilon. Para isso, precisamos encontrar um de tal que:
12|x - c| < epsilon Rightarrow |x - c| < 2epsilon
Passo 5
Então, podemos escolher de. Assim, sempre que 0 < |x - c| < de, teremos:
|12x + 3 - (12c + 3)| < epsilon
Resposta
Demonstramos que para qualquer epsilon > 0, ao escolher de, a condição |12x + 3 - (12c +3)| < epsilon é satisfeita sempre que 0 < |x - c| < de. Portanto, lim x c[12 x+3]=12 c+3 está comprovado usando a definição de limite com epsilon e de.