Seja
a função definida por
. © Encontre
para
arbitrário. Conclua que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o limite de uma função quando
se aproxima de 2. A gente vai usar o conceito de limite formal com
e
, que são como regras para garantir que a função se comporta direitinho perto do ponto que a gente quer. Precisamos encontrar um
que, para qualquer
, faça com que
garanta que
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o que a gente quer provar. Temos
e queremos mostrar que
. Isso significa que, quando
está bem perto de 2,
está bem perto de 6.
Passo 3
Vamos começar calculando a diferença
:
Agora, a gente pode fatorar
usando a diferença de cubos:
Então,
Passo 4
Nosso objetivo é fazer com que
. A gente já tem:
Para controlar isso, vamos primeiro limitar
. Suponhamos que
. Isso implica que
está entre 1 e 3, ou seja,
.
Passo 5
Com
, podemos estimar
:
Então, temos que:
Passo 6
Para garantir que
, basta escolher
.
Resposta
Então, podemos escolher:
Isso garante que sempre que
, teremos
, provando que
.
Exercícios relacionados
Seja
a função definida por
. (b) Repita o item anterior
e
.
Mostre por meio de um exemplo que
pode existir mesmo
e
não existam.
Demonstre cada afirmação usando a definição de limite
e
. (a)
Demonstre cada afirmação usando a definição de limite
e
. ©