Seja f: R R a função definida por f(x)=x^3-2. © Encontre de para epsilon>0 arbitrário. Conclua que lim x 2 f(x)=6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o limite de uma função quando se aproxima de 2. A gente vai usar o conceito de limite formal com e , que são como regras para garantir que a função se comporta direitinho perto do ponto que a gente quer. Precisamos encontrar um que, para qualquer , faça com que garanta que .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o que a gente quer provar. Temos e queremos mostrar que . Isso significa que, quando está bem perto de 2, está bem perto de 6.

Passo 3

Vamos começar calculando a diferença |f(x) - 6| = |x^3 - 2 - 6| = |x^3 - 8| :
x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)
Agora, a gente pode fatorar |x^3 - 8| = |x - 2||x^2 + 2x + 4| usando a diferença de cubos:
Então,

Passo 4

Nosso objetivo é fazer com que |x - 2||x^2 + 2x + 4| < epsilon . A gente já tem:
Para controlar isso, vamos primeiro limitar . Suponhamos que . Isso implica que está entre 1 e 3, ou seja, .

Passo 5

Com |x^2 + 2x + 4| <= |3^2| + |2 cdot 3| + |4| = 9 + 6 + 4 = 19 , podemos estimar |x - 2||x^2 + 2x + 4| <= |x - 2| cdot 19 :
Então, temos que:

Passo 6

Para garantir que , basta escolher .

Resposta

Então, podemos escolher:
de
Isso garante que sempre que , teremos , provando que .

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