Demonstre cada afirmação usando a definição varepsilon, de de limite. lim x 9(1-13 x)=-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para demonstrar que o limite de quando se aproxima de 9 é igual a -2, usando a definição de limite com e . Basicamente, vamos provar que para qualquer pequeno que a gente escolher, dá pra achar um correspondente que satisfaça a condição do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite usando e . Dizemos que o limite de quando tende a é se, para todo , existe um tal que sempre que , então .
No nosso caso, , e .

Passo 3

Vamos começar assumindo que temos um qualquer. Nosso objetivo é encontrar um que depende de de forma que se , então .

Passo 4

Vamos calcular |f(x) - (-2)| = |1 - 13x + 2| = |3 - 13x| = |9 - x3| = |x - 9|3 :
|x - 9|3 < varepsilon
Queremos que isso seja menor que :

Passo 5

Agora, resolvemos para |x - 9| < 3varepsilon :
Isso nos sugere que podemos escolher . Assim, sempre que , temos .

Passo 6

Recapitulando:
  • Escolhemos |f(x) - (-2)| = |x - 9|3 < 3varepsilon3 = varepsilon .
  • Sempre que , então:
Isso confirma que a definição de limite está satisfeita.

Resposta

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Se f(t) = raiz(5 - 2x), encontre f'''(2);
Se f(t) = tan(x), encontre f''(0).