Demonstre cada afirmação usando a definição de limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para demonstrar que o limite de quando se aproxima de 9 é igual a -2, usando a definição de limite com e . Basicamente, vamos provar que para qualquer pequeno que a gente escolher, dá pra achar um correspondente que satisfaça a condição do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite usando e . Dizemos que o limite de quando tende a é se, para todo , existe um tal que sempre que , então .
No nosso caso, , e .
Passo 3
Vamos começar assumindo que temos um qualquer. Nosso objetivo é encontrar um que depende de de forma que se , então .
Passo 4
Vamos calcular :
Queremos que isso seja menor que :
Passo 5
Agora, resolvemos para |x - 9| < 3varepsilon :
Isso nos sugere que podemos escolher . Assim, sempre que , temos .