Demonstre cada afirmação usando a definição de limite.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão pede. Queremos provar que o limite da função quando se aproxima de 5 é igual a 7. Para isso, vamos usar a definição de limite com e . Precisamos mostrar que, para todo , existe um tal que se , então .
Passo 2
Vamos começar simplificando a expressão dentro do valor absoluto. Temos:
Aqui, usamos propriedades das frações e da álgebra para simplificar a expressão.
Passo 3
Queremos que 32|x - 5| < varepsilon. Para isso, isolamos |x - 5|:
|x - 5| < 23varepsilon
Isso significa que se garantirmos que |x - 5| seja menor que 23varepsilon, então a condição original será satisfeita.
Passo 4
Escolhemos de. Assim, sempre que 0 < |x - 5| < de, teremos: