Demonstre cada afirmação usando a definição varepsilon, de de limite. lim x 5(32 x-12)=7

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão pede. Queremos provar que o limite da função 32x - 12 quando x se aproxima de 5 é igual a 7. Para isso, vamos usar a definição de limite com varepsilon e de. Precisamos mostrar que, para todo varepsilon > 0, existe um de 0 tal que se 0 < |x - 5| < de, então |32x - 12 - 7| < varepsilon.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão dentro do valor absoluto. Temos:
|32x - 12 - 7| = |32x - 152| = 32|x - 5|
Aqui, usamos propriedades das frações e da álgebra para simplificar a expressão.

Passo 3

Queremos que 32|x - 5| < varepsilon. Para isso, isolamos |x - 5|:
|x - 5| < 23varepsilon
Isso significa que se garantirmos que |x - 5| seja menor que 23varepsilon, então a condição original será satisfeita.

Passo 4

Escolhemos de. Assim, sempre que 0 < |x - 5| < de, teremos:
|32x - 12 - 7| = 32|x - 5| < 32 cdot 23varepsilon = varepsilon
Isso garante que a definição de limite é satisfeita.

Resposta

Portanto, demonstramos que lim x 5(32 x-12)=7 usando a definição de limite com varepsilon e de.

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