Demonstre cada afirmação usando a definição varepsilon, de de limite. lim x 4 x^2-2 x-8x-4=6

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que mostrar que o limite de x^2-2x-8x-4 quando x se aproxima de 4 é igual a 6. Vamos usar a definição de limite com varepsilon e de. Isso faz parte de Cálculo, especificamente no estudo de limites usando a abordagem formal de varepsilon e de. Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar varepsilon (um pequeno erro aceitável na altura) com de (uma pequena variação em x perto de 4).

Passo 2

Primeiro, simplificamos a expressão x^2-2x-8x-4. Vamos fatorar o numerador:
x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2)
Então, a expressão fica:
(x-4)(x+2)x-4
Podemos cancelar o (x-4), mas lembrando que x neq 4, então sobra:
x + 2
Agora, nosso limite simplificado é limx to 4 (x + 2) = 6, que já confirma o que queremos. Mas vamos formalizar isso usando varepsilon e de.

Passo 3

Segundo a definição de limite, para cada varepsilon > 0, precisamos encontrar um de 0 tal que, se 0 < |x - 4| < de, então |x^2-2x-8x-4 - 6| < varepsilon.
Substituindo a expressão simplificada, temos:
|x + 2 - 6| = |x - 4| < varepsilon

Passo 4

Observamos que |x - 4| < varepsilon já é a condição que queremos. Portanto, podemos escolher de. Assim, sempre que 0 < |x - 4| < de, teremos |x^2-2x-8x-4 - 6| < varepsilon.

Resposta

6

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