Demonstre cada afirmação usando a definição varepsilon, de de limite. lim x 2(x^2+2 x-7)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que o limite de quando se aproxima de 2 é igual a 1, usando a definição de limite com e . Vamos precisar entender como essa definição funciona e aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa usando e . Basicamente, queremos mostrar que para qualquer , existe um tal que se , então . No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos começar expressando |x^2 + 2x - 7 - 1| = |x^2 + 2x - 8| . Substituindo |x^2 + 2x - 8| < varepsilon temos:
Agora, queremos que isso seja menor que :

Passo 4

Vamos fatorar a expressão dentro do valor absoluto:
x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)
Então, temos:
|(x + 4)(x - 2)| < varepsilon
Para facilitar, vamos controlar .

Passo 5

Vamos supor que . Isso significa que está entre 1 e 3. Assim, estará entre 5 e 7, ou seja, .

Passo 6

Usando isso na nossa desigualdade:
|x + 4||x - 2| < 7|x - 2| < varepsilon
Para garantir que isso seja menor que 7|x - 2| < varepsilon Rightarrow |x - 2| < varepsilon7 , basta que:

Passo 7

Agora, escolhemos de como o mínimo entre 1 e :
Assim, se , todas as condições são satisfeitas e .

Resposta

Portanto, demonstramos que usando a definição de limite.

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