Demonstre cada afirmação usando a definição
de limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que o limite de
quando
se aproxima de 2 é igual a 1, usando a definição de limite com
e
. Vamos precisar entender como essa definição funciona e aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
usando
e
. Basicamente, queremos mostrar que para qualquer
, existe um
tal que se
, então
. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos começar expressando
. Substituindo
temos:
Agora, queremos que isso seja menor que
:
Passo 4
Vamos fatorar a expressão dentro do valor absoluto:
Então, temos:
Para facilitar, vamos controlar
.
Passo 5
Vamos supor que
. Isso significa que
está entre 1 e 3. Assim,
estará entre 5 e 7, ou seja,
.
Passo 6
Usando isso na nossa desigualdade:
Para garantir que isso seja menor que
, basta que:
Passo 7
Agora, escolhemos
como o mínimo entre 1 e
:
Assim, se
, todas as condições são satisfeitas e
.
Resposta
Portanto, demonstramos que
usando a definição
de limite.
Exercícios relacionados
Demonstre cada afirmação usando a definição
de limite.
No modelo clássico de
. Thomson para o átomo de hidrogênio, a carga
do núcleo era imaginada como estando uniformemente distribuída no interior de uma esfera de raio
da ordem de
(raio atômico) e o elétron era tratado como uma carga puntiforme
movendo-se no interior dessa distribuição. Calcule a frequência de oscilação e compare-a com uma frequência típica da luz visível, bem como com o resultado do Problema 2.3 do Cap. 2. (Curso de Física Básica vol.3)
Demonstre cada afirmação usando a definição
de limite.
Demonstre cada afirmação usando a definição
de limite.