Demonstre cada afirmação usando a definição
de limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que o limite de
quando
se aproxima de 2 é igual a 1, usando a definição de limite com
e
. Vamos precisar entender como essa definição funciona e aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
usando
e
. Basicamente, queremos mostrar que para qualquer
, existe um
tal que se
, então
. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos começar expressando
. Substituindo
temos:
Agora, queremos que isso seja menor que
:
Passo 4
Vamos fatorar a expressão dentro do valor absoluto:
Então, temos:
Para facilitar, vamos controlar
.
Passo 5
Vamos supor que
. Isso significa que
está entre 1 e 3. Assim,
estará entre 5 e 7, ou seja,
.
Passo 6
Usando isso na nossa desigualdade:
Para garantir que isso seja menor que
, basta que:
Passo 7
Agora, escolhemos
como o mínimo entre 1 e
:
Assim, se
, todas as condições são satisfeitas e
.
Resposta
Portanto, demonstramos que
usando a definição
de limite.