Demonstre cada afirmação usando a definição de limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente provar que o limite de quando se aproxima de é igual a , ou seja, . Para isso, vamos usar a definição de limite com e . Isso significa que, para qualquer erro pequeno que a gente queira ( ), a gente vai encontrar um intervalo ( ) ao redor de tal que, se estiver dentro desse intervalo, a diferença entre e será menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição formal: queremos mostrar que para todo , existe um tal que, se , então .

Passo 3

Observa que aqui, a condição que queremos atingir já aparece diretamente na condição inicial . Isso quer dizer que podemos fazer uma escolha bem direta para .

Passo 4

Vamos escolher . Assim, sempre que , teremos automaticamente , que é exatamente o que precisamos provar.

Passo 5

Com essa escolha de , mostramos que para qualquer , existe um (neste caso, ) que satisfaz a condição da definição de limite.

Resposta

Portanto, provamos que usando a definição de limite.

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