No modelo clássico de J J. Thomson para o átomo de hidrogênio, a carga +e do núcleo era imaginada como estando uniformemente distribuída no interior de uma esfera de raio a da ordem de 10^8 cm (raio atômico) e o elétron era tratado como uma carga puntiforme -e movendo-se no interior dessa distribuição. Calcule a frequência de oscilação e compare-a com uma frequência típica da luz visível, bem como com o resultado do Problema 2.3 do Cap. 2. (Curso de Física Básica vol.3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o modelo clássico de J. J. Thomson para o átomo de hidrogênio. Basicamente, nesse modelo, a carga positiva do núcleo ( +e) está distribuída de forma uniforme dentro de uma esfera com raio a (que é do tamanho de um átomo, cerca de 10^-8 cm). O elétron, que tem carga -e, se comporta como uma partícula pontual que se move dentro dessa esfera. A nossa missão aqui é calcular a frequência de oscilação do elétron nesse modelo e comparar com a frequência típica da luz visível, além de comparar com um resultado de um problema específico do curso.
Conteúdo da matéria: Eletrostática e movimentos harmônicos no contexto de modelos atômicos clássicos.
O que vamos precisar:
  • Conceitos de campo elétrico e força elétrica.
  • Equações do movimento harmônico simples.
  • Fórmulas básicas de frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a carga positiva está distribuída. Como a carga +e está uniformemente espalhada dentro de uma esfera de raio a, podemos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico dentro dessa esfera.
Lei de Gauss: Para uma distribuição de carga esférica uniforme, o campo elétrico dentro da esfera a uma distância r do centro é dado por:
E = e , ra^3
Aqui, e é a carga total, r é a distância do elétron ao centro e a é o raio da esfera.

Passo 3

Agora, sabemos que o elétron tem carga -e e está submetido a esse campo elétrico. A força que o elétron sente devido ao campo elétrico é:
F = -e E = -e ( e , ra^3 ) = -e^2 , ra^3
Essa força é proporcional à posição r, o que é característico de um movimento harmônico simples.

Passo 4

Sabemos que para um movimento harmônico simples, a força é dada por:
F = -kx
onde k é a constante elástica e x é o deslocamento.
Comparando com a força que encontramos:
k = e^2a^3

Passo 5

A frequência angular ( omega) de um movimento harmônico simples é dada por:
omega = raizkm
onde m é a massa do elétron.
Substituindo k:
omega = raize^2m a^3

Passo 6

Para encontrar a frequência ( f), usamos a relação entre frequência angular e frequência:
f = omega2pi = 12pi raize^2m a^3

Passo 7

Vamos agora inserir os valores conhecidos para calcular a frequência:
  • Carga do elétron: e approx 1,6 times 10^-19 C
  • Massa do elétron: m approx 9,1 times 10^-31 kg
  • Raio atômico: a approx 10^-8 cm = 10^-10 m
Substituindo na fórmula:
f = 12pi raiz(1,6 times 10^-19)^2(9,1 times 10^-31) (10^-10)^3

Passo 8

Vamos calcular o valor dentro da raiz primeiro:
(1,6 times 10^-19)^2(9,1 times 10^-31) (10^-10)^3 = 2,56 times 10^-389,1 times 10^-31 times 1 times 10^-30 = 2,56 times 10^-389,1 times 10^-61 approx 2,81 times 10^22
Então:
f = 12pi raiz2,81 times 10^22 approx 16,28 times 5,3 times 10^11 approx 8,45 times 10^10 Hz

Passo 9

Agora, vamos comparar essa frequência com a frequência típica da luz visível. A luz visível tem frequências na faixa de aproximadamente 4 times 10^14 Hz a 7,5 times 10^14 Hz.
Comparando:
foscilação approx 8,45 times 10^10 Hz fluz visível approx 4 times 10^14 Hz çãí
Percebemos que a frequência de oscilação do elétron no modelo de Thomson é muito menor que a frequência da luz visível.

Passo 10

Concluindo, a frequência de oscilação calculada para o elétron no modelo de Thomson ( approx 8,45 times 10^10 Hz) é significativamente menor do que a frequência típica da luz visível ( sim 10^14 Hz). Isso indica que, no modelo clássico, o elétron oscila muito mais devagar do que a frequência associada à luz que podemos ver.

Resposta

A frequência de oscilação do elétron no modelo clássico de J. J. Thomson para o átomo de hidrogênio é aproximadamente 8,45 times 10^10 Hz, o que é muito menor que a frequência típica da luz visível, que está na ordem de 10^14 Hz. Isso mostra que, segundo esse modelo, o movimento do elétron é significativamente mais lento do que as frequências associadas à luz que percebemos.

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