Demonstre cada afirmação usando a definição varepsilon, de de limite. lim x -6^+ raiz[8]6+x=0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem que demonstrar que o limite de raiz[8]6 + x quando x se aproxima de -6 pela direita é igual a 0. Para isso, vamos usar a definição de limite usando varepsilon e de. Isso significa que, para qualquer pequena distância varepsilon que a gente escolher perto de 0, a gente precisa encontrar uma de que garante que, se x está dentro de de de -6, então raiz[8]6 + x está dentro de varepsilon de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de limite usando varepsilon e de. Dizemos que limx to a f(x) = L se, para todo varepsilon > 0, existe um de 0 tal que, sempre que 0 < |x - a| < de, então |f(x) - L| < varepsilon.
No nosso caso, a = -6, L = 0 e f(x) = raiz[8]6 + x. Então precisamos mostrar que, para qualquer varepsilon > 0, podemos encontrar um de 0 tal que, se -6 < x < -6 + de, então |raiz[8]6 + x - 0| < varepsilon.

Passo 3

Vamos simplificar a desigualdade que precisamos satisfazer:
|raiz[8]6 + x| < varepsilon
Como a raiz de índice par (como a raiz oitava) de um número positivo é sempre positiva, podemos remover o valor absoluto:
raiz[8]6 + x < varepsilon
Agora, vamos elevar ambos os lados à potência 8 para eliminar a raiz:
6 + x < varepsilon^8
Queremos isolar x, então subtraímos 6 de ambos os lados:
x < varepsilon^8 - 6
Mas estamos procurando x próximo de -6 pela direita, então x está entre -6 e -6 + de. Portanto, queremos que:
-6 < x < -6 + de

Passo 4

Para garantir que a condição acima seja verdadeira, vamos escolher de de forma que:
de
Assim, se 0 < x + 6 < de, então:
x < -6 + varepsilon^8
Isso satisfaz a condição que encontramos anteriormente.

Passo 5

Portanto, para qualquer varepsilon > 0, se escolhermos de, sempre que -6 < x < -6 + de, teremos |raiz[8]6 + x| < varepsilon. Isso demonstra que o limite é realmente 0 conforme a definição varepsilon- de.

Resposta

lim x -6^+ raiz[8]6+x=0

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