Demonstre cada afirmação usando a definição
de limite.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem que demonstrar que o limite de
quando
se aproxima de
pela direita é igual a
. Para isso, vamos usar a definição de limite usando
e
. Isso significa que, para qualquer pequena distância
que a gente escolher perto de
, a gente precisa encontrar uma
que garante que, se
está dentro de
de
, então
está dentro de
de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de limite usando
e
. Dizemos que
se, para todo
, existe um
tal que, sempre que
, então
.
No nosso caso,
,
e
. Então precisamos mostrar que, para qualquer
, podemos encontrar um
tal que, se
, então
.
Passo 3
Vamos simplificar a desigualdade que precisamos satisfazer:
Como a raiz de índice par (como a raiz oitava) de um número positivo é sempre positiva, podemos remover o valor absoluto:
Agora, vamos elevar ambos os lados à potência 8 para eliminar a raiz:
Queremos isolar
, então subtraímos 6 de ambos os lados:
Mas estamos procurando
próximo de
pela direita, então
está entre
e
. Portanto, queremos que:
Passo 4
Para garantir que a condição acima seja verdadeira, vamos escolher
de forma que:
Assim, se
, então:
Isso satisfaz a condição que encontramos anteriormente.
Passo 5
Portanto, para qualquer
, se escolhermos
, sempre que
, teremos
. Isso demonstra que o limite é realmente
conforme a definição
-
.
Resposta
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