Demonstre cada afirmação usando a definição de limite.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem que demonstrar que o limite de quando se aproxima de pela direita é igual a . Para isso, vamos usar a definição de limite usando e . Isso significa que, para qualquer pequena distância que a gente escolher perto de , a gente precisa encontrar uma que garante que, se está dentro de de , então está dentro de de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de limite usando e . Dizemos que se, para todo , existe um tal que, sempre que , então .
No nosso caso, , e . Então precisamos mostrar que, para qualquer , podemos encontrar um tal que, se , então .

Passo 3

Vamos simplificar a desigualdade que precisamos satisfazer:
Como a raiz de índice par (como a raiz oitava) de um número positivo é sempre positiva, podemos remover o valor absoluto:
Agora, vamos elevar ambos os lados à potência 8 para eliminar a raiz:
Queremos isolar , então subtraímos 6 de ambos os lados:
Mas estamos procurando próximo de pela direita, então está entre e . Portanto, queremos que:

Passo 4

Para garantir que a condição acima seja verdadeira, vamos escolher de forma que:
Assim, se , então:
Isso satisfaz a condição que encontramos anteriormente.

Passo 5

Portanto, para qualquer , se escolhermos , sempre que , teremos . Isso demonstra que o limite é realmente conforme a definição - .

Resposta

Exercícios relacionados

Demonstre cada afirmação usando a definição de limite.
Demonstre cada afirmação usando a definição de limite.
Demonstre cada afirmação usando a definição de limite.
Demonstre cada afirmação usando a definição de limite.