Demonstre cada afirmação usando a definição
de limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o limite de
quando
se aproxima de 2 é igual a 5. Vamos usar a definição de limite usando
e
. Isso significa que, para qualquer
que a gente escolher, tem que encontrar um
tal que, se
estiver a menos de
de 2, então
estará a menos de
de 5.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função. Observa aí que
pode ser simplificada. O numerador
pode ser fatorado:
Assim, a expressão fica:
Então, basicamente, quando
não é igual a 2, temos que
.
Passo 3
Agora, o limite de
quando
se aproxima de 2 é fácil:
Mas vamos formalizar isso usando
e
. Queremos garantir que:
Simplificando:
Passo 4
Então, para garantir que
, podemos simplesmente escolher
. Assim, sempre que
, teremos:
Isso satisfaz a definição de limite usando
e
.
Resposta
Portanto, mostramos que
usando a definição
de limite.