Demonstre cada afirmação usando a definição varepsilon, de de limite. lim x 2 x^2+x-6x-2=5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o limite de x^2+x-6x-2 quando x se aproxima de 2 é igual a 5. Vamos usar a definição de limite usando varepsilon e de. Isso significa que, para qualquer varepsilon que a gente escolher, tem que encontrar um de tal que, se x estiver a menos de de de 2, então x^2+x-6x-2 estará a menos de varepsilon de 5.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função. Observa aí que x^2+x-6x-2 pode ser simplificada. O numerador x^2+x-6 pode ser fatorado:
x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)
Assim, a expressão fica:
(x - 2)(x + 3)x - 2 = x + 3 para x neq 2
Então, basicamente, quando x não é igual a 2, temos que x^2+x-6x-2 = x + 3.

Passo 3

Agora, o limite de x + 3 quando x se aproxima de 2 é fácil:
limx to 2 (x + 3) = 2 + 3 = 5
Mas vamos formalizar isso usando varepsilon e de. Queremos garantir que:
| (x + 3) - 5 | < varepsilon
Simplificando:
|x - 2| < varepsilon

Passo 4

Então, para garantir que |x + 3 - 5| = |x - 2| < varepsilon, podemos simplesmente escolher de. Assim, sempre que |x - 2| < de, teremos:
|f(x) - 5| = |x - 2| < varepsilon
Isso satisfaz a definição de limite usando varepsilon e de.

Resposta

Portanto, mostramos que lim x 2 x^2+x-6x-2=5 usando a definição varepsilon, de de limite.

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