Demonstre cada afirmação usando a definição de limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o limite de quando se aproxima de 2 é igual a 5. Vamos usar a definição de limite usando e . Isso significa que, para qualquer que a gente escolher, tem que encontrar um tal que, se estiver a menos de de 2, então estará a menos de de 5.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função. Observa aí que pode ser simplificada. O numerador pode ser fatorado:
Assim, a expressão fica:
Então, basicamente, quando não é igual a 2, temos que .

Passo 3

Agora, o limite de quando se aproxima de 2 é fácil:
Mas vamos formalizar isso usando e . Queremos garantir que:
Simplificando:

Passo 4

Então, para garantir que , podemos simplesmente escolher . Assim, sempre que , teremos:
Isso satisfaz a definição de limite usando e .

Resposta

Portanto, mostramos que usando a definição de limite.

Exercícios relacionados

No modelo clássico de . Thomson para o átomo de hidrogênio, a carga do núcleo era imaginada como estando uniformemente distribuída no interior de uma esfera de raio da ordem de (raio atômico) e o elétron era tratado como uma carga puntiforme movendo-se no interior dessa distribuição. Calcule a frequência de oscilação e compare-a com uma frequência típica da luz visível, bem como com o resultado do Problema 2.3 do Cap. 2. (Curso de Física Básica vol.3)
Questão 1: Admita um corpo realizando um M.H.S. tal que sua função horária seja sen . Contando à partir de , quantas vezes o bloco passa pelo ponto de repouso após 30 minutos de oscilação?
Demonstre cada afirmação usando a definição de limite.
Demonstre cada afirmação usando a definição de limite.