Demonstre cada afirmação usando a definição varepsilon, de de limite. lim x -1,5 9-4 x^23+2 x=6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que o limite da função 9-4x^23+2x quando x se aproxima de -1,5 é igual a 6. Vamos usar a definição de limite com varepsilon e de. Isso faz parte do estudo de limites em cálculo, onde queremos mostrar que, para qualquer pequena tolerância varepsilon, conseguimos encontrar uma faixa de ao redor de -1,5 que mantém a função dentro dessa tolerância em relação ao limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que precisamos provar. Queremos mostrar que:
Para todo número positivo varepsilon > 0, existe um número positivo de 0 tal que, se 0 < |x - (-1,5)| < de, então | 9 - 4x^23 + 2x - 6 | < varepsilon.
Isso significa que, se x está suficientemente perto de -1,5 (dentro de de), o valor da função ficará dentro de uma distância varepsilon de 6.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão | 9 - 4x^23 + 2x - 6 | para entender melhor como relacionar varepsilon e de.
Primeiro, calculamos a diferença:
| 9 - 4x^23 + 2x - 6 | = | 9 - 4x^2 - 6(3 + 2x)3 + 2x |
Simplificando o numerador:
9 - 4x^2 - 18 - 12x = -4x^2 - 12x - 9
Então,
| -4x^2 - 12x - 93 + 2x |

Passo 4

Vamos fatorar o numerador:
-4x^2 - 12x - 9 = - (4x^2 + 12x + 9) = - (2x + 3)^2
Portanto,
| -(2x + 3)^23 + 2x | = | (2x + 3)^23 + 2x |
Simplificando, já que (2x + 3)^2 é sempre positivo e 3 + 2x é negativo próximo de x = -1,5, podemos escrever:
(2x + 3)^2|3 + 2x|

Passo 5

Queremos que essa expressão seja menor que varepsilon:
(2x + 3)^2|3 + 2x| < varepsilon
Vamos escolher de de forma que |x + 1,5| < de implica |3 + 2x| > c para algum c > 0, para evitar dividir por zero.
Calculando 3 + 2x quando x = -1,5:
3 + 2(-1,5) = 3 - 3 = 0
Para garantir que estamos longe de zero, escolhemos de pequeno o suficiente, por exemplo, de, assim x fica em (-2, -1).
Nessa faixa, podemos estimar |3 + 2x| >= 1.

Passo 6

Agora, voltando à nossa inequação:
(2x + 3)^2|3 + 2x| < varepsilon
Como |3 + 2x| >= 1, então:
(2x + 3)^2 < varepsilon
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:
|2x + 3| < raizvarepsilon
Então,
|x + 1,5| < raizvarepsilon2

Passo 7

Finalmente, escolhemos de como o mínimo entre 0,5 e raizvarepsilon2:
de
Assim, garantimos que se 0 < |x + 1,5| < de, então | 9 - 4x^23 + 2x - 6 | < varepsilon.

Resposta

Portanto, para todo varepsilon > 0, escolhendo de, garantimos que lim x -1,5 9 - 4x^23 + 2x = 6.

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