Demonstre cada afirmação usando a definição de limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que o limite da função quando se aproxima de é igual a . Vamos usar a definição de limite com e . Isso faz parte do estudo de limites em cálculo, onde queremos mostrar que, para qualquer pequena tolerância , conseguimos encontrar uma faixa ao redor de que mantém a função dentro dessa tolerância em relação ao limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que precisamos provar. Queremos mostrar que:
Para todo número positivo , existe um número positivo tal que, se , então .
Isso significa que, se está suficientemente perto de (dentro de ), o valor da função ficará dentro de uma distância de .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão para entender melhor como relacionar e .
Primeiro, calculamos a diferença:
Simplificando o numerador:
Então,

Passo 4

Vamos fatorar o numerador:
Portanto,
Simplificando, já que é sempre positivo e é negativo próximo de , podemos escrever:

Passo 5

Queremos que essa expressão seja menor que :
Vamos escolher de forma que implica para algum , para evitar dividir por zero.
Calculando quando :
Para garantir que estamos longe de zero, escolhemos pequeno o suficiente, por exemplo, , assim fica em .
Nessa faixa, podemos estimar .

Passo 6

Agora, voltando à nossa inequação:
Como , então:
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:
Então,

Passo 7

Finalmente, escolhemos como o mínimo entre e :
Assim, garantimos que se , então .

Resposta

Portanto, para todo , escolhendo , garantimos que .

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