Demonstre cada afirmação usando a definição de limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa demonstrar que o limite de quando se aproxima de 0 é 0, usando a definição de limite com e . Isso está relacionado ao estudo de limites em cálculo, e vamos precisar entender como funciona essa definição para provar o que é pedido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que usando a definição de e . Basicamente, queremos provar que para todo , existe um tal que, se , então .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão . Isso fica , que é igual a porque elevar um número absoluto ao cubo mantém o sinal positivo. Então, nossa condição é que .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um que garanta que sempre que . Para facilitar, vamos relacionar com .

Passo 5

Podemos resolver para tomando a raiz cúbica de ambos os lados da desigualdade . Assim, temos . Isso sugere que podemos escolher .

Passo 6

Então, definimos . Agora, se , temos:
Isso satisfaz a condição que queríamos provar.

Resposta

Portanto, demonstramos que usando a definição de limite.

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