Demonstre cada afirmação usando a definição
de limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa demonstrar que o limite de
quando
se aproxima de 0 é 0, usando a definição de limite com
e
. Isso está relacionado ao estudo de limites em cálculo, e vamos precisar entender como funciona essa definição para provar o que é pedido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que
usando a definição de
e
. Basicamente, queremos provar que para todo
, existe um
tal que, se
, então
.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão
. Isso fica
, que é igual a
porque elevar um número absoluto ao cubo mantém o sinal positivo. Então, nossa condição é que
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar um
que garanta que
sempre que
. Para facilitar, vamos relacionar
com
.
Passo 5
Podemos resolver para
tomando a raiz cúbica de ambos os lados da desigualdade
. Assim, temos
. Isso sugere que podemos escolher
.
Passo 6
Então, definimos
. Agora, se
, temos:
Isso satisfaz a condição que queríamos provar.
Resposta
Portanto, demonstramos que
usando a definição
de limite.
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