Demonstre cada afirmação usando a definição varepsilon, de de limite. lim x 2 x^3=8

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que o limite de quando se aproxima de 2 é igual a 8, usando a definição de limite com e . Isso faz parte do estudo de limites na matemática, mais especificamente na análise de funções. Para resolver isso, precisamos entender como a definição formal de limite funciona e aplicar ela ao nosso caso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite usando limx to a f(x) = L e . Dizemos que:
se, para todo , existe um tal que, sempre que , então .
No nosso caso, , e . Queremos mostrar que para qualquer , podemos encontrar um que satisfaça a condição acima.

Passo 3

Vamos começar expressando |x^3 - 8| :
x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)
Perceba que |x^3 - 8| = |x - 2| cdot |x^2 + 2x + 4| pode ser fatorado como:
Então, temos:

Passo 4

Nosso objetivo é fazer |x - 2| cdot |x^2 + 2x + 4| < varepsilon . Então, queremos que:
Para controlar isso, precisamos limitar de forma que não cresça muito. Vamos supor que , o que implica que está no intervalo .

Passo 5

Dentro desse intervalo 1^2 + 2(1) + 4 = 7 , vamos estimar 3^2 + 2(3) + 4 = 19 . Calculando nos extremos:
Para :
Para :
Então, sabemos que quando .

Passo 6

Voltando à nossa desigualdade:
|x - 2| cdot |x^2 + 2x + 4| < varepsilon
Sabendo que |x - 2| cdot 19 < varepsilon Rightarrow |x - 2| < varepsilon19 , podemos garantir:

Passo 7

Então, para todo de, escolhemos como o mínimo entre 1 e :
Com essa escolha de , garantimos que se , então .

Resposta

Assim, demonstramos que usando a definição de limite.

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