Demonstre cada afirmação usando a definição de limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que o limite de quando se aproxima de 2 é igual a 8, usando a definição de limite com e . Isso faz parte do estudo de limites na matemática, mais especificamente na análise de funções. Para resolver isso, precisamos entender como a definição formal de limite funciona e aplicar ela ao nosso caso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite usando e . Dizemos que:
se, para todo , existe um tal que, sempre que , então .
No nosso caso, , e . Queremos mostrar que para qualquer , podemos encontrar um que satisfaça a condição acima.

Passo 3

Vamos começar expressando :
Perceba que pode ser fatorado como:
Então, temos:

Passo 4

Nosso objetivo é fazer . Então, queremos que:
Para controlar isso, precisamos limitar de forma que não cresça muito. Vamos supor que , o que implica que está no intervalo .

Passo 5

Dentro desse intervalo , vamos estimar . Calculando nos extremos:
Para :
Para :
Então, sabemos que quando .

Passo 6

Voltando à nossa desigualdade:
Sabendo que , podemos garantir:

Passo 7

Então, para todo , escolhemos como o mínimo entre 1 e :
Com essa escolha de , garantimos que se , então .

Resposta

Assim, demonstramos que usando a definição de limite.

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