Demonstre cada afirmação usando a definição
de limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que o limite de
quando
se aproxima de 2 é igual a 8, usando a definição de limite com
e
. Isso faz parte do estudo de limites na matemática, mais especificamente na análise de funções. Para resolver isso, precisamos entender como a definição formal de limite funciona e aplicar ela ao nosso caso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite usando
e
. Dizemos que:
se, para todo
, existe um
tal que, sempre que
, então
.
No nosso caso,
,
e
. Queremos mostrar que para qualquer
, podemos encontrar um
que satisfaça a condição acima.
Passo 3
Vamos começar expressando
:
Perceba que
pode ser fatorado como:
Então, temos:
Passo 4
Nosso objetivo é fazer
. Então, queremos que:
Para controlar isso, precisamos limitar
de forma que
não cresça muito. Vamos supor que
, o que implica que
está no intervalo
.
Passo 5
Dentro desse intervalo
, vamos estimar
. Calculando nos extremos:
Para
:
Para
:
Então, sabemos que
quando
.
Passo 6
Voltando à nossa desigualdade:
Sabendo que
, podemos garantir:
Passo 7
Então, para todo
, escolhemos
como o mínimo entre 1 e
:
Com essa escolha de
, garantimos que se
, então
.
Resposta
Assim, demonstramos que
usando a definição
de limite.
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