Demonstre cada afirmação usando a definição de limite.
Passo 1
Tudo bem! Vamos resolver esse exercício que pede para demonstrar o limite usando a definição de limite com e . Aqui, estamos trabalhando com o conceito de limites em cálculo, especificamente usando a definição formal de limite para provar que, conforme se aproxima de 1, a função se aproxima de 2. Para isso, vamos precisar manipular as desigualdades envolvendo e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de limite usando e . Dizemos que significa que para todo número pequeno , existe um tal que, se , então . No nosso caso, , e . Nosso objetivo é, dado um , encontrar um que satisfaça essa condição.
Passo 3
Vamos começar relacionando com . Temos:
Queremos que isso seja menor que varepsilon:
43 |x - 1| < varepsilon
Para garantir que 43 |x - 1| < varepsilon, basta que:
|x - 1| < 34 varepsilon
Portanto, podemos escolher:
de
Resposta
Encontramos que, para todo varepsilon > 0, podemos escolher de para satisfazer a definição de limite. Assim, limx 1 2+4x3=2 foi demonstrado usando a definição varepsilon-de.