Demonstre cada afirmação usando a definição de limite.

Passo 1

Tudo bem! Vamos resolver esse exercício que pede para demonstrar o limite usando a definição de limite com e . Aqui, estamos trabalhando com o conceito de limites em cálculo, especificamente usando a definição formal de limite para provar que, conforme se aproxima de 1, a função se aproxima de 2. Para isso, vamos precisar manipular as desigualdades envolvendo e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de limite usando e . Dizemos que significa que para todo número pequeno , existe um tal que, se , então . No nosso caso, , e . Nosso objetivo é, dado um , encontrar um que satisfaça essa condição.

Passo 3

Vamos começar relacionando com . Temos:
Queremos que isso seja menor que :
Para garantir que , basta que:
Portanto, podemos escolher:

Resposta

Encontramos que, para todo , podemos escolher para satisfazer a definição de limite. Assim, foi demonstrado usando a definição - .

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