Demonstre cada afirmação usando a definição varepsilon, de de limite. lim x 1 2+4 x3=2

Passo 1

Tudo bem! Vamos resolver esse exercício que pede para demonstrar o limite limx 1 2+4x3=2 usando a definição de limite com varepsilon e de. Aqui, estamos trabalhando com o conceito de limites em cálculo, especificamente usando a definição formal de limite para provar que, conforme x se aproxima de 1, a função 2+4x3 se aproxima de 2. Para isso, vamos precisar manipular as desigualdades envolvendo varepsilon e de.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de limite usando varepsilon e de. Dizemos que limx a f(x) = L significa que para todo número pequeno varepsilon > 0, existe um de 0 tal que, se 0 < |x - a| < de, então |f(x) - L| < varepsilon. No nosso caso, a = 1, L = 2 e f(x) = 2+4x3. Nosso objetivo é, dado um varepsilon > 0, encontrar um de 0 que satisfaça essa condição.

Passo 3

Vamos começar relacionando |f(x) - L| com |x - a|. Temos:
| 2 + 4x3 - 2 | = | 2 + 4x - 63 | = | 4x - 43 | = 43 |x - 1|
Queremos que isso seja menor que varepsilon:
43 |x - 1| < varepsilon
Para garantir que 43 |x - 1| < varepsilon, basta que:
|x - 1| < 34 varepsilon
Portanto, podemos escolher:
de

Resposta

Encontramos que, para todo varepsilon > 0, podemos escolher de para satisfazer a definição de limite. Assim, limx 1 2+4x3=2 foi demonstrado usando a definição varepsilon- de.

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