Questão 1: Admita um corpo realizando um M.H.S. tal que sua função horária seja
sen
. Contando à partir de
, quantas vezes o bloco passa pelo ponto de repouso após 30 minutos de oscilação?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo que está realizando um Movimento Harmônico Simples (M.H.S.), cuja posição em função do tempo é dada por
. A pergunta é: quantas vezes esse bloco passa pelo ponto de repouso (posição de equilíbrio) em 30 minutos.
Para resolver isso, vamos precisar entender algumas coisas:
- O que é Movimento Harmônico Simples.
- Como identificar os pontos onde o corpo passa pelo ponto de repouso.
- Como calcular o número de vezes que isso ocorre em um intervalo de tempo dado.
Passo 2
Primeiro, o que é Movimento Harmônico Simples? É um tipo de movimento oscilatório onde a força que age sobre o corpo é proporcional e oposta ao seu deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio. A função que descreve esse movimento geralmente tem a forma
, onde:
-
é a amplitude (a máxima distância do ponto de equilíbrio). -
é a frequência angular. -
é a fase inicial.
No nosso caso,
, então:
- Amplitude
metros. - Frequência angular
rad/s. - Fase inicial
rad.
Passo 3
O ponto de repouso é quando
. Então, queremos saber quando
. Como a amplitude não é zero, isso acontece quando o seno é zero:
Passo 4
Sabemos que
quando
, onde
é um número inteiro (0, 1, 2, …). Então:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, queremos saber quantos valores de
resultam em
dentro de 30 minutos. Primeiro, vamos converter 30 minutos para segundos, já que nosso tempo está em segundos:
Então,
deve ser menor ou igual a 1800 segundos:
Passo 6
Resolvendo para
:
Calculando:
Como
deve ser um número inteiro, o maior valor possível de
é 2291.
Passo 7
Cada valor de
corresponde a uma passagem pelo ponto de repouso. Portanto, o número de vezes que o bloco passa pelo ponto de repouso em 30 minutos é 2291.
Resposta
O bloco passa pelo ponto de repouso 2291 vezes após 30 minutos de oscilação.