Questão 1: Admita um corpo realizando um M.H.S. tal que sua função horária seja x(t)=0,005 sen (4 t+2). Contando à partir de t=0, quantas vezes o bloco passa pelo ponto de repouso após 30 minutos de oscilação?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo que está realizando um Movimento Harmônico Simples (M.H.S.), cuja posição em função do tempo é dada por . A pergunta é: quantas vezes esse bloco passa pelo ponto de repouso (posição de equilíbrio) em 30 minutos.
Para resolver isso, vamos precisar entender algumas coisas:
  • O que é Movimento Harmônico Simples.
  • Como identificar os pontos onde o corpo passa pelo ponto de repouso.
  • Como calcular o número de vezes que isso ocorre em um intervalo de tempo dado.

Passo 2

Primeiro, o que é Movimento Harmônico Simples? É um tipo de movimento oscilatório onde a força que age sobre o corpo é proporcional e oposta ao seu deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio. A função que descreve esse movimento geralmente tem a forma , onde:
  • é a amplitude (a máxima distância do ponto de equilíbrio).
  • é a frequência angular.
  • é a fase inicial.
No nosso caso, , então:
  • Amplitude metros.
  • Frequência angular rad/s.
  • Fase inicial rad.

Passo 3

O ponto de repouso é quando sin(4t + 2) = 0 . Então, queremos saber quando . Como a amplitude não é zero, isso acontece quando o seno é zero:

Passo 4

Sabemos que 4t + 2 = npi quando 4t = npi - 2 , onde t = npi - 24 é um número inteiro (0, 1, 2, …). Então:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, queremos saber quantos valores de 30 minutos = 30 times 60 = 1800 segundos resultam em npi - 24 <= 1800 dentro de 30 minutos. Primeiro, vamos converter 30 minutos para segundos, já que nosso tempo está em segundos:
Então, deve ser menor ou igual a 1800 segundos:

Passo 6

Resolvendo para npi - 2 <= 7200 :
npi <= 7202
n <= 7202pi
n <= 72023,1416 approx 2291
Calculando:
Como deve ser um número inteiro, o maior valor possível de é 2291.

Passo 7

Cada valor de corresponde a uma passagem pelo ponto de repouso. Portanto, o número de vezes que o bloco passa pelo ponto de repouso em 30 minutos é 2291.

Resposta

O bloco passa pelo ponto de repouso 2291 vezes após 30 minutos de oscilação.

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