Demonstre cada afirmação usando a definição varepsilon, de de limite. lim x -6 raiz[8]6+x=0

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa provar que o limite de raiz[8]6+x quando x se aproxima de -6 é igual a 0. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites usando a definição varepsilon, de. A gente vai precisar entender como essa definição funciona para mostrar que, para qualquer varepsilon > 0, existe um de 0 que faz com que raiz[8]6+x fique dentro de varepsilon quando x está perto de -6.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o que queremos provar usando a definição varepsilon, de. Queremos mostrar que:
forall varepsilon > 0, exists de 0 tal que se 0 < |x + 6| < deã
Aqui, |raiz[8]6 + x - 0| é apenas |raiz[8]6 + x|, pois estamos subtraindo 0.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão |raiz[8]6 + x|. Já que a raiz oitava de um número positivo é positiva, podemos escrever:
|raiz[8]6 + x| = raiz[8]|6 + x|
Mas, como x está se aproximando de -6, 6 + x está se aproximando de 0, então podemos tratar |6 + x| diretamente.

Passo 4

Queremos que raiz[8]|6 + x| < varepsilon. Para facilitar, vamos elevar ambos os lados da desigualdade à oitava potência (já que tudo é positivo):
|6 + x| < varepsilon^8
Isso nos ajuda a relacionar de diretamente com varepsilon.

Passo 5

Agora, podemos escolher de igual a varepsilon^8. Assim, se garantirmos que |x + 6| < de, automaticamente teremos que |6 + x| < varepsilon^8, o que, por sua vez, significa que raiz[8]|6 + x| < varepsilon.

Passo 6

Portanto, mostramos que para qualquer varepsilon > 0, existe um de que satisfaz a condição da definição de limite.

Resposta

Assim, concluímos que:
lim x -6 raiz[8]6 + x = 0

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