Demonstre cada afirmação usando a definição de limite.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa provar que o limite de quando se aproxima de é igual a . A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites usando a definição . A gente vai precisar entender como essa definição funciona para mostrar que, para qualquer , existe um que faz com que fique dentro de quando está perto de .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o que queremos provar usando a definição . Queremos mostrar que:
Aqui, |raiz[8]6 + x - 0| é apenas |raiz[8]6 + x|, pois estamos subtraindo 0.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão |raiz[8]6 + x|. Já que a raiz oitava de um número positivo é positiva, podemos escrever:
|raiz[8]6 + x| = raiz[8]|6 + x|
Mas, como x está se aproximando de -6, 6 + x está se aproximando de 0, então podemos tratar |6 + x| diretamente.
Passo 4
Queremos que raiz[8]|6 + x| < varepsilon. Para facilitar, vamos elevar ambos os lados da desigualdade à oitava potência (já que tudo é positivo):
|6 + x| < varepsilon^8
Isso nos ajuda a relacionar de diretamente com varepsilon.
Passo 5
Agora, podemos escolher de igual a varepsilon^8. Assim, se garantirmos que |x + 6| < de, automaticamente teremos que |6 + x| < varepsilon^8, o que, por sua vez, significa que raiz[8]|6 + x| < varepsilon.
Passo 6
Portanto, mostramos que para qualquer varepsilon > 0, existe um de que satisfaz a condição da definição de limite.