Esboce o gráfico das seguintes funções
a)
a)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da função
. Esse exercício envolve cálculo de funções exponenciais e algumas propriedades básicas de gráficos. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta para diferentes valores de
, especialmente perto de pontos críticos como
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Aqui, temos uma função que combina um termo linear (
) e uma função exponencial (
). Precisamos ver como essa combinação se comporta quando
varia.
Passo 3
Vamos verificar o comportamento quando
se aproxima de 0 pelo lado positivo (
). Nesse caso,
tende a
, então
tende a 0. Logo,
também tende a 0, porque
está multiplicando algo que está indo pra zero.
Passo 4
Agora, vamos ver o que acontece quando
se aproxima de 0 pelo lado negativo (
). Aqui,
tende a
, então
tende a
. Mas como
é negativo, temos
, que tende a
.
Passo 5
Vamos também observar o comportamento quando
tende ao infinito (
). Nesse caso,
tende a 0, então
tende a
. Assim,
tende a
, ou seja, cresce sem limite.
Passo 6
E se
tende a
? Similarmente,
tende a 0, então
também tende a 1. Assim,
tende a
, que nesse caso vai para
.
Passo 7
Vamos encontrar a derivada para identificar possíveis extremidades ou pontos de inflexão. Derivando
usando a regra do produto:
Para encontrar onde
:
Como
nunca é zero, resolvemos
, ou seja,
. Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 8
Vamos calcular o valor de
quando
:
Isso nos dá um ponto importante no gráfico:
.
Passo 9
Agora, juntando tudo:
- Para
: começa perto de 0 quando se aproxima de 0 e cresce aproximadamente como para valores grandes de . - Para
: tende a quando se aproxima de 0 e também tende a quando vai para , com um ponto de mínimo em .
Resposta
O gráfico da função
apresenta:
- Um ponto de mínimo em
. - Para
, a curva começa próxima de 0 e cresce de forma semelhante a uma linha reta conforme aumenta. - Para
, a curva desce verticalmente para à medida que se aproxima de 0 e também tende a quando vai para .
Assim, o esboço do gráfico mostrará uma concavidade que se aproxima do eixo
para
e uma descida contínua para
, com o ponto mínimo em
.
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b)
b)
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