Demonstre cada afirmação usando de e varepsilon de limite.
lim x 2(2 x-1)=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite: . Isso faz parte do estudo de limites em cálculo. Para provar isso usando e , a gente vai precisar entender como esses dois símbolos funcionam para garantir que, quando se aproxima de 2, se aproxima de 3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que para todo , existe um tal que se , então . No nosso caso, , e .

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar uma relação entre |2x - 1 - 3| = |2x - 4| = 2|x - 2| e que garanta que sempre que . Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:

Passo 4

Queremos que |x - 2| < varepsilon2 . Para isolar , dividimos ambos os lados por 2:

Passo 5

Então, se a gente escolher |2x - 1 - 3| = 2|x - 2| < 2 times varepsilon2 = varepsilon , sempre que , teremos:
Isso satisfaz a condição necessária para o limite.

Resposta

Portanto, para todo , podemos escolher de forma que, se , então . Isso demonstra que .

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