Resolva as integrais utilizando o método da integração por substituição: Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem a integral . Hoje vamos usar o método da substituição, que é super útil para simplificar integrais complicadas. Para isso, precisamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável, facilitando assim a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador u = 3 + x^4 . Notamos que o numerador é parecido com a derivada de . Isso é um sinal de que a substituição pode funcionar bem aqui. Vamos definir uma nova variável igual ao que está no denominador:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 4x^3 em relação a du = 4x^3 , dx para substituir o diferencial . Calculando a derivada:
Isso significa que:
Passo 4
Observamos que no nosso numerador temos x^3 , dx = du4 . Queremos expressar isso em termos de 5x^3 , dx = 5 cdot du4 = 54 du . Podemos rearranjar a equação da derivada para isolar :
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos substituir tudo na integral original usando integral 5x^33 + x^4 , dx = integral 54 duu e 54 integral 1u , du :
Isso simplifica para:
Passo 6
A integral de integral 1u , du = ln |u| + C em relação a 54 ln |u| + C é o logaritmo natural de :
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Finalmente, lembramos que 54 ln |3 + x^4| + C . Substituindo de volta: