Resolva as integrais utilizando o método da integração por substituição:
integral 5 x^33+x^4 d x Resp.: 54 ln |3+x^4|+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem a integral . Hoje vamos usar o método da substituição, que é super útil para simplificar integrais complicadas. Para isso, precisamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável, facilitando assim a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador u = 3 + x^4 . Notamos que o numerador é parecido com a derivada de . Isso é um sinal de que a substituição pode funcionar bem aqui. Vamos definir uma nova variável igual ao que está no denominador:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 4x^3 em relação a du = 4x^3 , dx para substituir o diferencial . Calculando a derivada:
Isso significa que:

Passo 4

Observamos que no nosso numerador temos x^3 , dx = du4 . Queremos expressar isso em termos de 5x^3 , dx = 5 cdot du4 = 54 du . Podemos rearranjar a equação da derivada para isolar :
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos substituir tudo na integral original usando integral 5x^33 + x^4 , dx = integral 54 duu e 54 integral 1u , du :
Isso simplifica para:

Passo 6

A integral de integral 1u , du = ln |u| + C em relação a 54 ln |u| + C é o logaritmo natural de :
Então, substituindo de volta:

Passo 7

Finalmente, lembramos que 54 ln |3 + x^4| + C . Substituindo de volta:

Resposta

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