Resolva as integrais utilizando o método da integração por substituição:
integral e^x cos (3 e^x-pi3) d x Resp.: 13 sen(3 e^x-pi3)+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para resolver a integral de em relação a . A matéria que vamos usar é a integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas transformando-as em integrais mais fáceis de resolver. Para isso, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que podemos substituir. Observando a função dentro do cosseno, temos u = 3 e^x - pi3 . Vamos chamar essa expressão de , ou seja:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = 3 e^x em relação a du = 3 e^x dx para encontrar :
Isso significa que:

Passo 4

Vamos rearranjar a expressão para e^x dx = du3 para isolar :

Passo 5

Agora, substituímos integral e^x cos (3 e^x-pi3) dx = integral cos(u) cdot du3 = 13 integral cos(u) du e na integral original:

Passo 6

A integral de 13 integral cos(u) du = 13 sin(u) + C em relação a é . Então, temos:

Passo 7

Finalmente, voltamos à variável original 13 sin(3 e^x - pi3) + C substituindo de volta:

Resposta

13 sen(3 e^x-pi3)+C

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