Demonstre que o conjunto
é subespaço de
sobre
.
Passo 1
Vamos mostrar que o conjunto
é um subespaço de
sobre
. Para isso, precisamos verificar três propriedades: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Precisamos encontrar um valor de
tal que:
Isso ocorre quando
. Portanto, o vetor zero pertence a
.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Seja
e
dois vetores em
. A soma deles é:
Podemos escrever isso como
onde
. Assim,
também pertence a
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Seja
um vetor em
e
um escalar. A multiplicação por escalar é:
Isso pode ser escrito como
onde
. Assim,
também pertence a
.
Resposta
O conjunto
é um subespaço de
sobre
.