Demonstre que o conjunto W=(alpha, 2 alpha, 3 alpha) mid alpha, in R é subespaço de R^3 sobre R.

Passo 1

Vamos mostrar que o conjunto é um subespaço de sobre . Para isso, precisamos verificar três propriedades: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em (alpha, 2alpha, 3alpha) = (0, 0, 0) . O vetor zero em é . Precisamos encontrar um valor de tal que:
Isso ocorre quando . Portanto, o vetor zero pertence a .

Passo 3

Agora, vamos ver se u + v = (alpha + beta, 2alpha + 2beta, 3alpha + 3beta) = (alpha + beta, 2(alpha + beta), 3(alpha + beta)) é fechado sob adição. Seja e dois vetores em . A soma deles é:
Podemos escrever isso como onde . Assim, também pertence a .

Passo 4

Por último, vamos verificar se c cdot u = (calpha, 2calpha, 3calpha) = (calpha, 2(calpha), 3(calpha)) é fechado sob multiplicação por escalar. Seja um vetor em e um escalar. A multiplicação por escalar é:
Isso pode ser escrito como onde . Assim, também pertence a .

Resposta

O conjunto é um subespaço de sobre .

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