Explique por que cada uma das seguintes regras algébricas não funciona em geral quando os números reais a e b são substituídos por matrizes n times n, A e B.
(b) (a+b)(a-b)=a^2-b^2

Passo 1

Vamos analisar por que a regra algébrica (a + b)(a - b) = a^2 - b^2, que funciona para números reais, não funciona da mesma forma quando substituímos a e b por matrizes quadradas A e B de ordem n times n. Para entender isso, precisamos conhecer as propriedades da multiplicação de matrizes e como ela difere da multiplicação de números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o lado esquerdo da equação (A + B)(A - B). Para multiplicar duas matrizes, usamos a regra da distributividade, semelhante à multiplicação de binômios:
(A + B)(A - B) = A(A - B) + B(A - B)

Passo 3

Agora, distribuímos novamente:
A(A - B) + B(A - B) = A cdot A - A cdot B + B cdot A - B cdot B
Isso simplifica para:
A^2 - AB + BA - B^2

Passo 4

No lado direito da equação original, temos A^2 - B^2. Comparando com o que obtivemos no Passo 3:
A^2 - AB + BA - B^2 neq A^2 - B^2
A diferença está nos termos -AB + BA.

Passo 5

Para a igualdade (A + B)(A - B) = A^2 - B^2 ser válida para matrizes, precisaríamos que AB = BA, ou seja, as matrizes A e B comutem. Porém, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, AB neq BA.

Passo 6

Portanto, a regra (A + B)(A - B) = A^2 - B^2 só funciona para matrizes se elas comutarem, o que não acontece para matrizes arbitrárias. Assim, essa regra algébrica não é válida em geral para matrizes.

Resposta

A regra (A + B)(A - B) = A^2 - B^2 não funciona em geral para matrizes porque, geralmente, AB neq BA, tornando a igualdade inválida.

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