Explique por que cada uma das seguintes regras algébricas não funciona em geral quando os números reais
e
são substituídos por matrizes
e
.
(b)
(b)
Passo 1
Vamos analisar por que a regra algébrica
, que funciona para números reais, não funciona da mesma forma quando substituímos
e
por matrizes quadradas
e
de ordem
. Para entender isso, precisamos conhecer as propriedades da multiplicação de matrizes e como ela difere da multiplicação de números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o lado esquerdo da equação
. Para multiplicar duas matrizes, usamos a regra da distributividade, semelhante à multiplicação de binômios:
Passo 3
Agora, distribuímos novamente:
Isso simplifica para:
Passo 4
No lado direito da equação original, temos
. Comparando com o que obtivemos no Passo 3:
A diferença está nos termos
.
Passo 5
Para a igualdade
ser válida para matrizes, precisaríamos que
, ou seja, as matrizes
e
comutem. Porém, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja,
.
Passo 6
Portanto, a regra
só funciona para matrizes se elas comutarem, o que não acontece para matrizes arbitrárias. Assim, essa regra algébrica não é válida em geral para matrizes.
Resposta
A regra
não funciona em geral para matrizes porque, geralmente,
, tornando a igualdade inválida.