Demonstre, no corpo dos reais, as seguintes desigualdades:
|x y - a b| <= (|x - a| + |a|) |y - b| + |b| |x - a|

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que provar uma desigualdade envolvendo valores absolutos no conjunto dos números reais. A desigualdade que vamos demonstrar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender algumas propriedades básicas dos valores absolutos e como aplicá-las em desigualdades. Vamos passo a passo para ficar bem claro.

Passo 2

Primeiro, vamos manipular a expressão dentro do valor absoluto no lado esquerdo da desigualdade:
Podemos reescrever de uma forma que nos ajude a aplicar as propriedades dos valores absolutos. Observamos que:
Então, substituindo na expressão original temos:

Passo 3

Agora, usamos a Propriedade da Desigualdade Triangular, que diz que para quaisquer números reais e :
Aplicando isso na nossa expressão:

Passo 4

Vamos simplificar cada termo separadamente. Primeiro:
E depois:
Substituindo de volta na desigualdade, temos:

Passo 5

Agora, queremos relacionar com e . Usamos novamente a Desigualdade Triangular:
Substituindo isso na nossa expressão anterior:

Resposta

Pronto! Demonstramos que:

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