Demonstre, no corpo dos reais, as seguintes desigualdades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que provar uma desigualdade envolvendo valores absolutos no conjunto dos números reais. A desigualdade que vamos demonstrar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender algumas propriedades básicas dos valores absolutos e como aplicá-las em desigualdades. Vamos passo a passo para ficar bem claro.
Passo 2
Primeiro, vamos manipular a expressão dentro do valor absoluto no lado esquerdo da desigualdade:
Podemos reescrever
de uma forma que nos ajude a aplicar as propriedades dos valores absolutos. Observamos que:
Então, substituindo na expressão original temos:
Passo 3
Agora, usamos a Propriedade da Desigualdade Triangular, que diz que para quaisquer números reais
e
:
Aplicando isso na nossa expressão:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo separadamente. Primeiro:
E depois:
Substituindo de volta na desigualdade, temos:
Passo 5
Agora, queremos relacionar
com
e
. Usamos novamente a Desigualdade Triangular:
Substituindo isso na nossa expressão anterior:
Resposta
Pronto! Demonstramos que: