Encontre a solução da EDO utilizando coeficientes a determinar:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me mandou:
Aqui estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar duas partes: a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para isso, usamos o método dos coeficientes a determinar, onde montamos a equação característica substituindo
por
:
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que determinamos com condições iniciais (se houver).
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa
.
Como o lado direito é
, assumimos uma solução particular da forma:
Onde
é a constante que precisamos determinar.
Passo 6
Para encontrar
, substituímos
na equação original:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Agora que encontramos
, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea
e da solução particular
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.