Encontre a solução da EDO utilizando coeficientes a determinar:
y'' - 6y' - 5y = e^(2x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me mandou:
Aqui estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar duas partes: a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para isso, usamos o método dos coeficientes a determinar, onde montamos a equação característica substituindo por :
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que determinamos com condições iniciais (se houver).

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa .
Como o lado direito é , assumimos uma solução particular da forma:
Onde é a constante que precisamos determinar.

Passo 6

Para encontrar , substituímos na equação original:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Agora que encontramos , a solução particular é:

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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