Responda formalmente cada item a seguir.
Mostre que o conjunto
é limitado inferiormente, mas nẽo possui ínfimo em
.
Mostre que o conjunto
Passo 1
Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos o conjunto
. A questão quer que a gente mostre duas coisas:
-
é limitado inferiormente. -
não possui ínfimo dentro dos números racionais .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser limitado inferiormente e o que é o ínfimo de um conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
é limitado inferiormente. Um conjunto é limitado inferiormente se existe um número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto.
No nosso caso, queremos encontrar um número
tal que
para todo
. Sabemos que
, então 0 já é um número que é menor que todos os
em
. Portanto,
é limitado inferiormente por 0.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
possui um ínfimo em
. O ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto.
Para encontrar o ínfimo de
, consideramos a inequação
. Resolvendo para
, temos:
Calculando
, percebemos que é um número irracional, já que
é irracional e a combinação
também é irracional. Portanto, não existe um número racional que seja exatamente igual a
.
Passo 4
Como não existe um número racional que seja exatamente
, qualquer candidato a ínfimo em
teria que ser maior que
, mas também menor que todos os elementos de
. Porém, como
não está em
, não podemos encontrar esse maior número em
.
Passo 5
Dessa forma, concluímos que
é limitado inferiormente (por 0), mas não possui um ínfimo dentro dos números racionais
, pois o menor limite real não está em
.
Resposta
O conjunto
é limitado inferiormente, porém não possui ínfimo em
.