Responda formalmente cada item a seguir.
Mostre que o conjunto A = {x pertencente a Q: x^2 > 3 - 2 * raiz(2), x > 0} é limitado inferiormente, mas nẽo possui ínfimo em Q.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos o conjunto . A questão quer que a gente mostre duas coisas:
  1. é limitado inferiormente.
  2. não possui ínfimo dentro dos números racionais .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser limitado inferiormente e o que é o ínfimo de um conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que é limitado inferiormente. Um conjunto é limitado inferiormente se existe um número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto.
No nosso caso, queremos encontrar um número tal que para todo . Sabemos que , então 0 já é um número que é menor que todos os em . Portanto, é limitado inferiormente por 0.

Passo 3

Agora, vamos verificar se possui um ínfimo em . O ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto.
Para encontrar o ínfimo de , consideramos a inequação . Resolvendo para , temos:
Calculando , percebemos que é um número irracional, já que é irracional e a combinação também é irracional. Portanto, não existe um número racional que seja exatamente igual a .

Passo 4

Como não existe um número racional que seja exatamente , qualquer candidato a ínfimo em teria que ser maior que , mas também menor que todos os elementos de . Porém, como não está em , não podemos encontrar esse maior número em .

Passo 5

Dessa forma, concluímos que é limitado inferiormente (por 0), mas não possui um ínfimo dentro dos números racionais , pois o menor limite real não está em .

Resposta

O conjunto é limitado inferiormente, porém não possui ínfimo em .

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