Sejam
no corpo dos reais e
tais que
. Mostre que
A hipótese
poderia ser retirada? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre números reais
e
e uma constante
que está entre 0 e 1 (
). A gente sabe que a diferença absoluta entre
e
é menor que
vezes o valor absoluto de
, ou seja,
. O objetivo é mostrar que o valor absoluto de
é maior que
vezes o valor absoluto de
, ou seja,
. Além disso, precisamos ver se a condição
pode ser removida e justificar isso. Vamos precisar usar propriedades de valores absolutos e um pouco de álgebra básica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que
significa. Isso indica que a distância entre
e
é menor que
vezes o valor de
. Agora, queremos relacionar isso com
.
Uma ferramenta útil aqui é a triangular desigualdade, que diz que para quaisquer números reais
e
:
No nosso caso, vamos rearranjar
. Podemos escrever
como
. Então:
Aplicando a triangular desigualdade:
Isso porque, de acordo com a triangular desigualdade invertida:
Então, substituindo:
Passo 3
Sabemos que
. Vamos substituir isso na inequação que obtivemos:
Aqui, usamos que
, então
.
Portanto:
Passo 4
Agora, sobre a possibilidade de remover a hipótese
. Vamos pensar no que acontece se
não estiver entre 0 e 1.
-
Se
: A desigualdade pode não ser válida. Por exemplo, se , teríamos , o que não necessariamente é verdadeiro, já que poderia ser zero. -
Se
: A condição não faria sentido, já que é positivo entre 0 e 1.
Portanto, manter
é importante para que as desigualdades façam sentido e a conclusão seja válida.
Resposta
Mostramos que
sempre que
. A hipótese
é necessária e não pode ser retirada, pois sem ela a desigualdade pode não se manter válida.