Sejam a, b no corpo dos reais e 0 < r < 1 tais que |b-a| < r|a|. Mostre que
|b| > (1 - r) |a|
A hipótese 0 < r < 1 poderia ser retirada? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre números reais e e uma constante que está entre 0 e 1 ( ). A gente sabe que a diferença absoluta entre e é menor que vezes o valor absoluto de , ou seja, . O objetivo é mostrar que o valor absoluto de é maior que vezes o valor absoluto de , ou seja, . Além disso, precisamos ver se a condição pode ser removida e justificar isso. Vamos precisar usar propriedades de valores absolutos e um pouco de álgebra básica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa. Isso indica que a distância entre e é menor que vezes o valor de . Agora, queremos relacionar isso com .
Uma ferramenta útil aqui é a triangular desigualdade, que diz que para quaisquer números reais e :
No nosso caso, vamos rearranjar . Podemos escrever como . Então:
Aplicando a triangular desigualdade:
Isso porque, de acordo com a triangular desigualdade invertida:
Então, substituindo:

Passo 3

Sabemos que . Vamos substituir isso na inequação que obtivemos:
Aqui, usamos que , então .
Portanto:

Passo 4

Agora, sobre a possibilidade de remover a hipótese . Vamos pensar no que acontece se não estiver entre 0 e 1.
  • Se : A desigualdade pode não ser válida. Por exemplo, se , teríamos , o que não necessariamente é verdadeiro, já que poderia ser zero.
  • Se : A condição não faria sentido, já que é positivo entre 0 e 1.
Portanto, manter é importante para que as desigualdades façam sentido e a conclusão seja válida.

Resposta

Mostramos que sempre que . A hipótese é necessária e não pode ser retirada, pois sem ela a desigualdade pode não se manter válida.

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