Demonstre que
.
Passo 1
Neste exercício, precisamos mostrar que
. Vamos usar conceitos de trigonometria, especialmente as identidades trigonométricas relacionadas aos triângulos retângulos, para chegar à demonstração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso representa o arco seno de
, ou seja, o ângulo cujo seno é
. Vamos chamar esse ângulo de
:
Então, por definição:
Passo 3
Agora, imaginemos um triângulo retângulo onde um dos ângulos agudos é
. Nesse triângulo, o seno de
é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Podemos atribuir:
- Cateto oposto a
: - Hipotenusa:
Passo 4
Com esses valores, podemos encontrar o outro cateto, que é o cateto adjacente a
. Pelo Teorema de Pitágoras:
Substituindo os valores:
Passo 5
Resolvendo para o cateto adjacente:
Passo 6
Agora, o cosseno de
é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:
Resposta
Portanto, demonstramos que:
Exercícios relacionados
Calcule o limite, se existir.
;
(a) Encontre as velocidades médias sobre os seguintes intervalos de tempo:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Determine o limite infinito:
.
Determine a assíntota vertical da função