Demonstre que .

Passo 1

Neste exercício, precisamos mostrar que . Vamos usar conceitos de trigonometria, especialmente as identidades trigonométricas relacionadas aos triângulos retângulos, para chegar à demonstração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso representa o arco seno de , ou seja, o ângulo cujo seno é . Vamos chamar esse ângulo de :
Então, por definição:

Passo 3

Agora, imaginemos um triângulo retângulo onde um dos ângulos agudos é . Nesse triângulo, o seno de é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Podemos atribuir:
  • Cateto oposto a :
  • Hipotenusa:

Passo 4

Com esses valores, podemos encontrar o outro cateto, que é o cateto adjacente a . Pelo Teorema de Pitágoras:
Substituindo os valores:

Passo 5

Resolvendo para o cateto adjacente:

Passo 6

Agora, o cosseno de é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:

Resposta

Portanto, demonstramos que:

Exercícios relacionados

Calcule o limite, se existir. ;
(a) Encontre as velocidades médias sobre os seguintes intervalos de tempo:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Determine o limite infinito: .
Determine a assíntota vertical da função