Demonstre que cos(sen^-1(x)) = raiz(1 - x^2).

Passo 1

Neste exercício, precisamos mostrar que . Vamos usar conceitos de trigonometria, especialmente as identidades trigonométricas relacionadas aos triângulos retângulos, para chegar à demonstração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso representa o arco seno de x, ou seja, o ângulo cujo seno é x. Vamos chamar esse ângulo de theta:
Então, por definição:

Passo 3

Agora, imaginemos um triângulo retângulo onde um dos ângulos agudos é theta. Nesse triângulo, o seno de theta é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Podemos atribuir:
  • Cateto oposto a theta: x
  • Hipotenusa: 1

Passo 4

Com esses valores, podemos encontrar o outro cateto, que é o cateto adjacente a theta. Pelo Teorema de Pitágoras:
Substituindo os valores:

Passo 5

Resolvendo para o cateto adjacente:

Passo 6

Agora, o cosseno de theta é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:

Resposta

Portanto, demonstramos que:

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