Determine o limite infinito: lim x 1^+ ln raizx-1.

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com funções logarítmicas e limites, especificamente analisando o comportamento da função quando se aproxima de 1 pela direita. Para resolver, vamos precisar entender como a função logarítmica e a raiz quadrada se comportam perto desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. A raiz quadrada pode ser escrita como uma potência:
raizx - 1 = (x - 1)^12
Então, a expressão fica:
ln raizx - 1 = ln (x - 1)^12

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz que ln (x - 1)^12 = 12 ln (x - 1) , podemos simplificar ainda mais:
lim x 1^+ 12 ln (x - 1)
Agora, nosso limite é:

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de 12 ln (x - 1) 12 (-infty) = -infty quando se aproxima de 1 pela direita. Quando , se aproxima de 0 pelo lado positivo, ou seja, . Sabemos que .
Portanto:

Resposta

O limite é .

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