Demonstre que em um determinado espaço vetorial , o vetor nulo ế único.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para mostrar que, em qualquer espaço vetorial , o vetor nulo é único. Isso está no campo da álgebra linear, mais especificamente nas propriedades que definem um espaço vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial, o que é o vetor nulo e como essas definições se relacionam para provar que não pode ter mais de um vetor nulo nesse espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo é um conjunto de vetores onde podemos fazer operações de adição de vetores e multiplicação por escalares que satisfazem certas propriedades, como comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro e inverso, etc.
Passo 3
O vetor nulo, também chamado de vetor zero e geralmente denotado por , é o vetor que, quando adicionado a qualquer outro vetor em , não altera esse vetor. Em outras palavras:
Passo 4
Agora, para mostrar que o vetor nulo é único, vamos supor que existam dois vetores nulos diferentes em . Vamos chamar esses vetores de e .
Passo 5
Segundo a definição de vetor nulo, temos que:
Mas também, como é um vetor nulo:
Passo 6
Agora, igualando as duas expressões:
Isso mostra que os dois vetores nulos que supusemos serem diferentes, na verdade, são iguais.
Resposta
Portanto, em qualquer espaço vetorial , o vetor nulo é único.