Demonstre que em um determinado espaço vetorial , o vetor nulo ế único.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para mostrar que, em qualquer espaço vetorial , o vetor nulo é único. Isso está no campo da álgebra linear, mais especificamente nas propriedades que definem um espaço vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial, o que é o vetor nulo e como essas definições se relacionam para provar que não pode ter mais de um vetor nulo nesse espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo é um conjunto de vetores onde podemos fazer operações de adição de vetores e multiplicação por escalares que satisfazem certas propriedades, como comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro e inverso, etc.

Passo 3

O vetor nulo, também chamado de vetor zero e geralmente denotado por , é o vetor que, quando adicionado a qualquer outro vetor em , não altera esse vetor. Em outras palavras:

Passo 4

Agora, para mostrar que o vetor nulo é único, vamos supor que existam dois vetores nulos diferentes em . Vamos chamar esses vetores de e .

Passo 5

Segundo a definição de vetor nulo, temos que:
Mas também, como é um vetor nulo:

Passo 6

Agora, igualando as duas expressões:
Isso mostra que os dois vetores nulos que supusemos serem diferentes, na verdade, são iguais.

Resposta

Portanto, em qualquer espaço vetorial , o vetor nulo é único.

Exercícios relacionados

Representar graficamente as retas de equações
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
, o conjunto de todas as funções contínuas definidas no intervalo
Demonstre que em um determinado espaço vetorial , o elemento oposto de um vetor é único.
Para quais valores de o conjunto é L.I.?