Demonstre que em um determinado espaço vetorial V, o vetor nulo ế único.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para mostrar que, em qualquer espaço vetorial , o vetor nulo é único. Isso está no campo da álgebra linear, mais especificamente nas propriedades que definem um espaço vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial, o que é o vetor nulo e como essas definições se relacionam para provar que não pode ter mais de um vetor nulo nesse espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo é um conjunto de vetores onde podemos fazer operações de adição de vetores e multiplicação por escalares que satisfazem certas propriedades, como comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro e inverso, etc.

Passo 3

O vetor nulo, também chamado de vetor zero e geralmente denotado por v + 0 = v, forall v in V , é o vetor que, quando adicionado a qualquer outro vetor em , não altera esse vetor. Em outras palavras:

Passo 4

Agora, para mostrar que o vetor nulo é único, vamos supor que existam dois vetores nulos diferentes em . Vamos chamar esses vetores de e .

Passo 5

Segundo a definição de vetor nulo, temos que:
01 + 02 = 01
Mas também, como 01 + 02 = 02 é um vetor nulo:

Passo 6

Agora, igualando as duas expressões:
01 = 02
Isso mostra que os dois vetores nulos que supusemos serem diferentes, na verdade, são iguais.

Resposta

Portanto, em qualquer espaço vetorial , o vetor nulo é único.

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