Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
, o conjunto de todas as funções contínuas definidas no intervalo
Passo 1
Vamos analisar se o conjunto
, que é o conjunto de todas as funções contínuas definidas no intervalo
, junto com as operações usuais de soma de funções e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Para isso, precisamos verificar se todas as dez propriedades (axiomas) que definem um espaço vetorial são satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial. Eles incluem propriedades como a existência de um elemento neutro, a existência de inversos, a associatividade e comutatividade da adição, entre outros. Precisamos verificar cada um desses axiomas para o conjunto
.
Passo 3
Vamos começar verificando a existência do elemento neutro para a adição. No caso de funções, o elemento neutro é a função zero, ou seja,
para todo
. Como a função zero é contínua no intervalo
, ela pertence a
.
Passo 4
Em seguida, verificamos se para toda função
existe uma função inversa
tal que
. A função inversa
também é contínua no intervalo
, então ela pertence a
.
Passo 5
Agora, vamos verificar a associatividade da adição. Para quaisquer funções
, temos
. A soma de funções contínuas é contínua, então essa propriedade é satisfeita.
Passo 6
A comutatividade da adição também é satisfeita, já que
para quaisquer
, devido à propriedade comutativa da soma de números reais.
Passo 7
Para a multiplicação por escalar, vamos verificar se
para qualquer escalar
e funções
. Isso é válido porque a multiplicação por escalar distribui sobre a adição de funções contínuas.
Passo 8
Além disso, verificamos que
e
, onde
e
são escalares. Essas propriedades são satisfeitas devido às propriedades dos números reais e da multiplicação de funções contínuas.
Resposta
O conjunto
, juntamente com as operações usuais de soma de funções e multiplicação por escalar, satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Portanto,
é um espaço vetorial.