Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido. , o conjunto de todas as funções contínuas definidas no intervalo
Passo 1
Vamos analisar se o conjunto , que é o conjunto de todas as funções contínuas definidas no intervalo , junto com as operações usuais de soma de funções e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Para isso, precisamos verificar se todas as dez propriedades (axiomas) que definem um espaço vetorial são satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial. Eles incluem propriedades como a existência de um elemento neutro, a existência de inversos, a associatividade e comutatividade da adição, entre outros. Precisamos verificar cada um desses axiomas para o conjunto .
Passo 3
Vamos começar verificando a existência do elemento neutro para a adição. No caso de funções, o elemento neutro é a função zero, ou seja, para todo . Como a função zero é contínua no intervalo , ela pertence a .
Passo 4
Em seguida, verificamos se para toda função existe uma função inversa tal que . A função inversa também é contínua no intervalo , então ela pertence a .
Passo 5
Agora, vamos verificar a associatividade da adição. Para quaisquer funções , temos . A soma de funções contínuas é contínua, então essa propriedade é satisfeita.
Passo 6
A comutatividade da adição também é satisfeita, já que para quaisquer , devido à propriedade comutativa da soma de números reais.
Passo 7
Para a multiplicação por escalar, vamos verificar se para qualquer escalar e funções . Isso é válido porque a multiplicação por escalar distribui sobre a adição de funções contínuas.
Passo 8
Além disso, verificamos que e , onde e são escalares. Essas propriedades são satisfeitas devido às propriedades dos números reais e da multiplicação de funções contínuas.
Resposta
O conjunto , juntamente com as operações usuais de soma de funções e multiplicação por escalar, satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Portanto, é um espaço vetorial.