Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
, o conjunto de todas as funções contínuas definidas no intervalo

Passo 1

Vamos analisar se o conjunto , que é o conjunto de todas as funções contínuas definidas no intervalo , junto com as operações usuais de soma de funções e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Para isso, precisamos verificar se todas as dez propriedades (axiomas) que definem um espaço vetorial são satisfeitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial. Eles incluem propriedades como a existência de um elemento neutro, a existência de inversos, a associatividade e comutatividade da adição, entre outros. Precisamos verificar cada um desses axiomas para o conjunto .

Passo 3

Vamos começar verificando a existência do elemento neutro para a adição. No caso de funções, o elemento neutro é a função zero, ou seja, para todo . Como a função zero é contínua no intervalo , ela pertence a .

Passo 4

Em seguida, verificamos se para toda função existe uma função inversa tal que . A função inversa também é contínua no intervalo , então ela pertence a .

Passo 5

Agora, vamos verificar a associatividade da adição. Para quaisquer funções , temos . A soma de funções contínuas é contínua, então essa propriedade é satisfeita.

Passo 6

A comutatividade da adição também é satisfeita, já que para quaisquer , devido à propriedade comutativa da soma de números reais.

Passo 7

Para a multiplicação por escalar, vamos verificar se para qualquer escalar e funções . Isso é válido porque a multiplicação por escalar distribui sobre a adição de funções contínuas.

Passo 8

Além disso, verificamos que e , onde e são escalares. Essas propriedades são satisfeitas devido às propriedades dos números reais e da multiplicação de funções contínuas.

Resposta

O conjunto , juntamente com as operações usuais de soma de funções e multiplicação por escalar, satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Portanto, é um espaço vetorial.

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