Uma parede plana, com 2L de espessura, tem fontes internas de calor cuja taxa de geração varia de acordo com
qg=q0 cos (a x)
onde q0 é o calor gerado por volume unitário no centro da parede ( x=0 ) e a é uma constante. Se os dois lados forem mantidos a uma temperatura constante de Tw. Derive uma expressão para a perda total de calor por unidade de área da superfície da parede.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma parede plana com espessura total de qg = q0 cos(a x) que possui fontes internas de calor. A taxa de geração de calor varia de acordo com a posição dentro da parede, dada por:
onde:
  • é o calor gerado por unidade de volume no centro da parede ( ),
  • é uma constante que determina como a geração de calor varia com .
Ambos os lados da parede são mantidos a uma temperatura constante . Nosso objetivo é derivar uma expressão para a perda total de calor por unidade de área na superfície da parede.
Para resolver esse problema, vamos precisar dos conceitos de condução de calor com geração interna, aplicando a lei de Fourier e resolvendo a equação diferencial resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a equação de condução de calor com geração interna em regime estacionário, sem fluxo de calor dependente do tempo:
d^2 Tdx^2 + qgk = 0
onde:
  • d^2 Tdx^2 + q0k cos(a x) = 0 é a temperatura,
  • é a condutividade térmica da parede,
  • é a taxa de geração de calor por unidade de volume.
Substituindo na equação, temos:

Passo 3

Agora, vamos integrar essa equação diferencial duas vezes para encontrar a expressão para a temperatura dTdx = -q0k integral cos(a x) dx + C1 .
Primeira integração:
integral cos(a x) dx = sin(a x)a
Integrando dTdx = -q0k a sin(a x) + C1 :
Portanto:

Passo 4

Segunda integração:
T(x) = -q0k a integral sin(a x) dx + C1 x + C2
Integrando integral sin(a x) dx = -cos(a x)a :
T(x) = q0k a^2 cos(a x) + C1 x + C2
Então:

Passo 5

Aplicamos as condições de contorno para determinar as constantes de integração T(-L) = q0k a^2 cos(-a L) + C1 (-L) + C2 = Tw e q0k a^2 cos(a L) - C1 L + C2 = Tw (1) . Sabemos que nas superfícies T(L) = q0k a^2 cos(a L) + C1 L + C2 = Tw (2) e , a temperatura é .
Para :
Como , temos:
Para :

Passo 6

Subtraindo a equação (1) da equação (2):
( q0k a^2 cos(a L) + C1 L + C2 ) - ( q0k a^2 cos(a L) - C1 L + C2 ) = 0
Simplificando:
2 C1 L = 0 Rightarrow C1 = 0
Substituindo q0k a^2 cos(a L) + C2 = Tw Rightarrow C2 = Tw - q0k a^2 cos(a L) na equação (1):

Passo 7

Assim, a expressão para a temperatura T(x) = q0k a^2 cos(a x) + 0 cdot x + ( Tw - q0k a^2 cos(a L) ) é:
T(x) = Tw + q0k a^2 ( cos(a x) - cos(a L) )
Simplificando:

Passo 8

A perda de calor por unidade de área na superfície da parede ( q'' = -k dTdx |x=L ) é dada pelo fluxo de calor:
dTdx = q0k a^2 cdot (-a) sin(a x) = -q0k a sin(a x)
Vamos calcular a derivada de dTdx |x=L = -q0k a sin(a L) :
q'' = -k ( -q0k a sin(a L) ) = q0a sin(a L)
Avaliando em :
Portanto:

Resposta

A perda total de calor por unidade de área na superfície da parede é:
q'' = q0a sin(a L)

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