Uma parede plana, com 2L de espessura, tem fontes internas de calor cuja taxa de geração varia de acordo com
onde é o calor gerado por volume unitário no centro da parede ( ) e é uma constante. Se os dois lados forem mantidos a uma temperatura constante de Tw. Derive uma expressão para a perda total de calor por unidade de área da superfície da parede.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma parede plana com espessura total de que possui fontes internas de calor. A taxa de geração de calor varia de acordo com a posição dentro da parede, dada por:
onde:
é o calor gerado por unidade de volume no centro da parede (),
é uma constante que determina como a geração de calor varia com .
Ambos os lados da parede são mantidos a uma temperatura constante . Nosso objetivo é derivar uma expressão para a perda total de calor por unidade de área na superfície da parede.
Para resolver esse problema, vamos precisar dos conceitos de condução de calor com geração interna, aplicando a lei de Fourier e resolvendo a equação diferencial resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a equação de condução de calor com geração interna em regime estacionário, sem fluxo de calor dependente do tempo:
onde:
é a temperatura,
é a condutividade térmica da parede,
é a taxa de geração de calor por unidade de volume.
Substituindo na equação, temos:
Passo 3
Agora, vamos integrar essa equação diferencial duas vezes para encontrar a expressão para a temperatura .
Primeira integração:
Integrando :
Portanto:
Passo 4
Segunda integração:
Integrando :
Então:
Passo 5
Aplicamos as condições de contorno para determinar as constantes de integração e . Sabemos que nas superfícies e , a temperatura é .
Para :
Como , temos:
Para :
Passo 6
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Simplificando:
Substituindo na equação (1):
Passo 7
Assim, a expressão para a temperatura é:
Simplificando:
Passo 8
A perda de calor por unidade de área na superfície da parede () é dada pelo fluxo de calor:
Vamos calcular a derivada de dTdx |x=L = -q0k a sin(a L) :
q'' = -k ( -q0k a sin(a L) ) = q0a sin(a L)
Avaliando em :
Portanto:
Resposta
A perda total de calor por unidade de área na superfície da parede é: