Seja r uma reta secante a um plano alpha e P um ponto exterior a alpha. Mostre que existe uma única reta que passa por P, encontra r éé paralela a alpha.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma reta r que corta o plano alpha em algum ponto (ou seja, é uma reta secante ao plano). Além disso, temos um ponto P que não está no plano alpha. A gente precisa mostrar que existe uma única reta que passa por P, intercepta a reta r e é paralela ao plano alpha.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, como paralelismo de retas e planos, e interseção de retas com planos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine o plano alpha, a reta r que corta esse plano e um ponto P fora do plano. Queremos encontrar uma reta que comece em P, toque a reta r em algum ponto e, ao mesmo tempo, seja paralela ao plano alpha.

Passo 3

Sabemos que se uma reta é paralela a um plano, então ela não intersecta o plano em nenhum ponto. Portanto, a reta que estamos procurando deve seguir essa propriedade: ela não deve cruzar o plano alpha, mas ainda assim deve passar por P e interceptar r.

Passo 4

Vamos considerar a projeção do ponto P no plano alpha. Como P está fora do plano, essa projeção existe e é única. Chamaremos essa projeção de P'. A linha que conecta P a P' é perpendicular ao plano alpha.

Passo 5

Agora, vamos olhar para a reta r. Como r é secante ao plano alpha, ela corta o plano em um ponto que chamaremos de Q. Queremos encontrar uma reta que passa por P, passa por algum ponto na reta r e é paralela ao plano alpha.

Passo 6

Para que a reta que estamos procurando seja paralela ao plano alpha, ela deve ter a mesma direção da projeção de r no plano alpha. Isso significa que há apenas uma direção possível para essa reta que satisfaz todas as condições.

Passo 7

Portanto, existe apenas uma direção para a reta que passa por P, intercepta r e é paralela ao plano alpha. Isso garante que a reta que procuramos é única.

Resposta

Existe uma única reta que passa pelo ponto P, intercepta a reta r e é paralela ao plano alpha.

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