Seja r uma reta secante a um plano
e
um ponto exterior a
. Mostre que existe uma única reta que passa por
, encontra
éé paralela a
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma reta
que corta o plano
em algum ponto (ou seja, é uma reta secante ao plano). Além disso, temos um ponto
que não está no plano
. A gente precisa mostrar que existe uma única reta que passa por
, intercepta a reta
e é paralela ao plano
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, como paralelismo de retas e planos, e interseção de retas com planos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine o plano
, a reta
que corta esse plano e um ponto
fora do plano. Queremos encontrar uma reta que comece em
, toque a reta
em algum ponto e, ao mesmo tempo, seja paralela ao plano
.
Passo 3
Sabemos que se uma reta é paralela a um plano, então ela não intersecta o plano em nenhum ponto. Portanto, a reta que estamos procurando deve seguir essa propriedade: ela não deve cruzar o plano
, mas ainda assim deve passar por
e interceptar
.
Passo 4
Vamos considerar a projeção do ponto
no plano
. Como
está fora do plano, essa projeção existe e é única. Chamaremos essa projeção de
. A linha que conecta
a
é perpendicular ao plano
.
Passo 5
Agora, vamos olhar para a reta
. Como
é secante ao plano
, ela corta o plano em um ponto que chamaremos de
. Queremos encontrar uma reta que passa por
, passa por algum ponto na reta
e é paralela ao plano
.
Passo 6
Para que a reta que estamos procurando seja paralela ao plano
, ela deve ter a mesma direção da projeção de
no plano
. Isso significa que há apenas uma direção possível para essa reta que satisfaz todas as condições.
Passo 7
Portanto, existe apenas uma direção para a reta que passa por
, intercepta
e é paralela ao plano
. Isso garante que a reta que procuramos é única.
Resposta
Existe uma única reta que passa pelo ponto
, intercepta a reta
e é paralela ao plano
.