Determine a solução da equação de Riccati .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Riccati: . Esse tipo de equação faz parte das equações diferenciais não lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que transforme essa equação em uma equação diferencial linear, que é mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação de Riccati tem a forma geral . No nosso caso, , e .

Passo 3

Para transformar a equação de Riccati em uma equação linear, fazemos uma substituição. Vamos definir , onde é uma nova função de e . Essa substituição ajuda a simplificar a equação original.

Passo 4

Agora, vamos calcular usando a substituição :
Substituímos isso na equação original:

Passo 5

Simplificando os termos:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Distribuindo o sinal negativo:

Passo 6

Cancelando de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por :
Agora, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem:

Passo 7

Vamos resolver essa equação característica associada:
Usando a fórmula quadrática:
Então, as soluções são complexas.

Passo 8

A solução geral para é:
Onde e são constantes de integração.

Passo 9

Lembrando que , vamos calcular :

Passo 10

Substituindo na expressão de :

Resposta

A solução geral da equação de Riccati é:
Onde e são constantes que podem ser determinadas a partir de condições iniciais específicas.

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