Demonstre as equações e . A relação entre resistência e resistividade é dada por , em que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer que eu demonstre as equações e , além de mostrar como a resistência se relaciona com a resistividade usando , onde . A gente vai precisar entender conceitos de campo elétrico, densidade de corrente, resistência elétrica e resistividade. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o campo elétrico ( ) e a densidade de corrente ( ). O campo elétrico representa a força por unidade de carga que atua sobre uma carga elétrica, e a densidade de corrente é a quantidade de carga que passa por uma área por unidade de tempo.

Passo 3

A relação entre o campo elétrico e a densidade de corrente é dada pela lei de Ohm generalizada, que afirma que , onde é a condutividade elétrica do material.

Passo 4

A resistividade elétrica ( ) é o inverso da condutividade elétrica ( ), ou seja, . Substituindo isso na equação anterior, temos , que rearranjando fica .

Passo 5

Agora, vamos para a segunda equação . Aqui, é a diferença de potencial (voltagem), é a resistência elétrica e é a corrente que passa pelo circuito. Essa é a famosa Lei de Ohm, que relaciona essas três grandezas.

Passo 6

Para relacionar resistência com resistividade , consideramos um material com comprimento e área de seção transversal . A resistência elétrica é dada por . Isso mostra que a resistência aumenta com o comprimento e com a resistividade, e diminui com o aumento da área.

Passo 7

Finalmente, a resistividade pode ser expressa em termos das propriedades dos portadores de carga no material. Usando , onde:
  • é a massa efetiva dos portadores de carga,
  • é a carga elétrica dos portadores,
  • é a densidade de portadores de carga,
  • é o tempo de relaxação (tempo médio entre colisões).
Isso conecta a resistência elétrica com as propriedades microscópicas do material.

Resposta

Dessa forma, demonstramos que:
  1. O campo elétrico está relacionado à densidade de corrente por .
  2. A diferença de potencial é relacionada à resistência e à corrente pela Lei de Ohm: .
  3. A resistência elétrica está ligada à resistividade do material através de , onde a resistividade é dada por .

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