Demonstre as equações
e
. A relação entre resistência e resistividade é dada por
, em que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer que eu demonstre as equações
e
, além de mostrar como a resistência
se relaciona com a resistividade
usando
, onde
. A gente vai precisar entender conceitos de campo elétrico, densidade de corrente, resistência elétrica e resistividade. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o campo elétrico (
) e a densidade de corrente (
). O campo elétrico representa a força por unidade de carga que atua sobre uma carga elétrica, e a densidade de corrente é a quantidade de carga que passa por uma área por unidade de tempo.
Passo 3
A relação entre o campo elétrico e a densidade de corrente é dada pela lei de Ohm generalizada, que afirma que
, onde
é a condutividade elétrica do material.
Passo 4
A resistividade elétrica (
) é o inverso da condutividade elétrica (
), ou seja,
. Substituindo isso na equação anterior, temos
, que rearranjando fica
.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda equação
. Aqui,
é a diferença de potencial (voltagem),
é a resistência elétrica e
é a corrente que passa pelo circuito. Essa é a famosa Lei de Ohm, que relaciona essas três grandezas.
Passo 6
Para relacionar resistência
com resistividade
, consideramos um material com comprimento
e área de seção transversal
. A resistência elétrica é dada por
. Isso mostra que a resistência aumenta com o comprimento e com a resistividade, e diminui com o aumento da área.
Passo 7
Finalmente, a resistividade
pode ser expressa em termos das propriedades dos portadores de carga no material. Usando
, onde:
-
é a massa efetiva dos portadores de carga, -
é a carga elétrica dos portadores, -
é a densidade de portadores de carga, -
é o tempo de relaxação (tempo médio entre colisões).
Isso conecta a resistência elétrica com as propriedades microscópicas do material.
Resposta
Dessa forma, demonstramos que:
- O campo elétrico está relacionado à densidade de corrente por
. - A diferença de potencial é relacionada à resistência e à corrente pela Lei de Ohm:
. - A resistência elétrica está ligada à resistividade do material através de
, onde a resistividade é dada por .