Demonstre as equações E=rho J e V=R I. A relação entre resistência e resistividade é dada por R=rho L / A, em que rho=m / e^2 n tau.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer que eu demonstre as equações E = rho J e V = R I, além de mostrar como a resistência R se relaciona com a resistividade rho usando R = rho LA, onde rho = me^2 n tau. A gente vai precisar entender conceitos de campo elétrico, densidade de corrente, resistência elétrica e resistividade. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o campo elétrico ( E) e a densidade de corrente ( J). O campo elétrico representa a força por unidade de carga que atua sobre uma carga elétrica, e a densidade de corrente é a quantidade de carga que passa por uma área por unidade de tempo.

Passo 3

A relação entre o campo elétrico e a densidade de corrente é dada pela lei de Ohm generalizada, que afirma que J = sigma E, onde sigma é a condutividade elétrica do material.

Passo 4

A resistividade elétrica ( rho) é o inverso da condutividade elétrica ( sigma), ou seja, rho = 1sigma. Substituindo isso na equação anterior, temos J = 1rho E, que rearranjando fica E = rho J.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda equação V = R I. Aqui, V é a diferença de potencial (voltagem), R é a resistência elétrica e I é a corrente que passa pelo circuito. Essa é a famosa Lei de Ohm, que relaciona essas três grandezas.

Passo 6

Para relacionar resistência R com resistividade rho, consideramos um material com comprimento L e área de seção transversal A. A resistência elétrica é dada por R = rho LA. Isso mostra que a resistência aumenta com o comprimento e com a resistividade, e diminui com o aumento da área.

Passo 7

Finalmente, a resistividade rho pode ser expressa em termos das propriedades dos portadores de carga no material. Usando rho = me^2 n tau, onde:
  • m é a massa efetiva dos portadores de carga,
  • e é a carga elétrica dos portadores,
  • n é a densidade de portadores de carga,
  • tau é o tempo de relaxação (tempo médio entre colisões).
Isso conecta a resistência elétrica com as propriedades microscópicas do material.

Resposta

Dessa forma, demonstramos que:
  1. O campo elétrico está relacionado à densidade de corrente por E = rho J.
  2. A diferença de potencial é relacionada à resistência e à corrente pela Lei de Ohm: V = R I.
  3. A resistência elétrica está ligada à resistividade do material através de R = rho LA, onde a resistividade rho é dada por rho = me^2 n tau.

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