Demonstre a existência de um número real
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que existe um número real
tal que
. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre funções contínuas e o Teorema do Valor Intermediário, para resolver isso. Primeiro, precisamos entender e manipular as funções envolvidas para encontrar esse
.
Passo 2
Vamos começar definindo uma função que representa a diferença entre os dois lados da equação que queremos resolver. Seja:
Queremos encontrar um
tal que
.
Passo 3
Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, precisamos que a função
seja contínua no intervalo que vamos considerar. Sabemos que
é contínua para
e
também é contínua para todos os reais. Portanto,
é contínua para
.
Passo 4
Agora, vamos escolher dois valores de
maiores que
e calcular
para ver se a função muda de sinal entre eles.
Vamos tentar
:
Agora, vamos tentar
:
Ainda está negativo. Vamos aumentar mais um pouco.
Para
:
Agora, temos
.
Passo 5
Observamos que:
Como
é contínua no intervalo
e muda de negativo para positivo, pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir pelo menos um
nesse intervalo tal que
.
Resposta
Portanto, existe pelo menos um número real
que satisfaz
.