Demonstre a existência de um número real tal que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que existe um número real tal que . Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre funções contínuas e o Teorema do Valor Intermediário, para resolver isso. Primeiro, precisamos entender e manipular as funções envolvidas para encontrar esse .
Passo 2
Vamos começar definindo uma função que representa a diferença entre os dois lados da equação que queremos resolver. Seja:
Queremos encontrar um tal que .
Passo 3
Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, precisamos que a função seja contínua no intervalo que vamos considerar. Sabemos que é contínua para e também é contínua para todos os reais. Portanto, é contínua para .
Passo 4
Agora, vamos escolher dois valores de maiores que e calcular para ver se a função muda de sinal entre eles.
Vamos tentar :
Agora, vamos tentar :
Ainda está negativo. Vamos aumentar mais um pouco.
Para :
Agora, temos .
Passo 5
Observamos que:
Como é contínua no intervalo e muda de negativo para positivo, pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir pelo menos um nesse intervalo tal que .
Resposta
Portanto, existe pelo menos um número real que satisfaz .