Demonstre a existência de um número real tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que existe um número real tal que . Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre funções contínuas e o Teorema do Valor Intermediário, para resolver isso. Primeiro, precisamos entender e manipular as funções envolvidas para encontrar esse .

Passo 2

Vamos começar definindo uma função que representa a diferença entre os dois lados da equação que queremos resolver. Seja:
Queremos encontrar um tal que .

Passo 3

Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, precisamos que a função seja contínua no intervalo que vamos considerar. Sabemos que é contínua para e também é contínua para todos os reais. Portanto, é contínua para .

Passo 4

Agora, vamos escolher dois valores de maiores que e calcular para ver se a função muda de sinal entre eles.
Vamos tentar :
Agora, vamos tentar :
Ainda está negativo. Vamos aumentar mais um pouco.
Para :
Agora, temos .

Passo 5

Observamos que:
Como é contínua no intervalo e muda de negativo para positivo, pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir pelo menos um nesse intervalo tal que .

Resposta

Portanto, existe pelo menos um número real que satisfaz .

Exercícios relacionados

Determine onde as funções abaixo são contínuas:
(a)
(b)
©
(d) .
Quão grande devemos tornar para que ?
Determine constantes e reais de modo que a função abaixo seja contínua em :
Calcule os seguintes valores das funções em cada arco especificado:
(a)
(b)
© .