Determine constantes e reais de modo que a função abaixo seja contínua em :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as constantes e para que a função seja contínua em todos os números reais. Essa função é dividida em três partes, dependendo de :
Para :
Para :
Para :
Vamos precisar garantir que não tem “saltos” na função nos pontos onde as partes mudam, ou seja, em e . Para isso, vamos calcular os limites dessas partes nesses pontos e igualar entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a primeira parte da função quando . Temos:
Perceba que é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
Então, substituindo:
Portanto, o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda () é:
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda parte da função em :
Para garantir a continuidade em , o valor dessa parte da função quando deve ser igual ao limite que encontramos:
Igualando ao limite da esquerda:
Vamos simplificar essa equação:
çã
Passo 4
Agora, vamos garantir a continuidade em . Primeiro, calculamos o limite da segunda parte quando se aproxima de 3 pela esquerda ():
Em seguida, olhamos para a terceira parte da função quando :
Então, o valor dessa parte em é:
Para a continuidade em , esses dois valores devem ser iguais:
Vamos simplificar essa equação:
çã
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
çãçã
Podemos simplificar a Equação 2 dividindo todos os termos por 2:
Agora, temos:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Agora, substituímos na Equação 1:
Resposta
As constantes que garantem a continuidade da função são e .