Determine constantes A e B reais de modo que a função abaixo seja contínua em R :
f(x)=l x^2-4x-2, se x<2 A x^2-B x+3, se 2 <= x<3 2 x-A+B, se x >= 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as constantes e para que a função seja contínua em todos os números reais. Essa função é dividida em três partes, dependendo de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Vamos precisar garantir que não tem “saltos” na função nos pontos onde as partes mudam, ou seja, em e . Para isso, vamos calcular os limites dessas partes nesses pontos e igualar entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a primeira parte da função quando f(x) = x^2 - 4x - 2 . Temos:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Perceba que f(x) = (x - 2)(x + 2)x - 2 = x + 2 para x neq 2 é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
limx to 2^- f(x) = 2 + 2 = 4
Então, substituindo:
Portanto, o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ) é:

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda parte da função em f(x) = A x^2 - B x + 3 :
f(2) = A (2)^2 - B (2) + 3 = 4A - 2B + 3
Para garantir a continuidade em 4A - 2B + 3 = 4 , o valor dessa parte da função quando 4A - 2B = 1 (Equação 1) deve ser igual ao limite que encontramos:
Igualando ao limite da esquerda:
Vamos simplificar essa equação:
çã

Passo 4

Agora, vamos garantir a continuidade em limx to 3^- f(x) = A (3)^2 - B (3) + 3 = 9A - 3B + 3 . Primeiro, calculamos o limite da segunda parte quando f(x) = 2x - A + B se aproxima de 3 pela esquerda ( f(3) = 2(3) - A + B = 6 - A + B ):
9A - 3B + 3 = 6 - A + B
Em seguida, olhamos para a terceira parte da função quando 10A - 4B = 3 (Equação 2) :
Então, o valor dessa parte em é:
Para a continuidade em , esses dois valores devem ser iguais:
Vamos simplificar essa equação:
çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
4A - 2B = 1 (Equação 1) 10A - 4B = 3 (Equação 2) çãçã
Podemos simplificar a Equação 2 dividindo todos os termos por 2:
5A - 2B = 1.5
Agora, temos:
4A - 2B = 1 5A - 2B = 1.5
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
(5A - 2B) - (4A - 2B) = 1.5 - 1 A = 0.5
Agora, substituímos 4(0.5) - 2B = 1 2 - 2B = 1 -2B = -1 B = 0.5 na Equação 1:

Resposta

As constantes que garantem a continuidade da função são e .

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