Determine constantes e reais de modo que a função abaixo seja contínua em :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as constantes e para que a função seja contínua em todos os números reais. Essa função é dividida em três partes, dependendo de :
Para :
Para :
Para :
Vamos precisar garantir que não tem “saltos” na função nos pontos onde as partes mudam, ou seja, em e . Para isso, vamos calcular os limites dessas partes nesses pontos e igualar entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a primeira parte da função quando f(x) = x^2 - 4x - 2 . Temos:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Perceba que f(x) = (x - 2)(x + 2)x - 2 = x + 2 para x neq 2 é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
limx to 2^- f(x) = 2 + 2 = 4
Então, substituindo:
Portanto, o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda () é:
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda parte da função em f(x) = A x^2 - B x + 3 :
f(2) = A (2)^2 - B (2) + 3 = 4A - 2B + 3
Para garantir a continuidade em 4A - 2B + 3 = 4 , o valor dessa parte da função quando 4A - 2B = 1 (Equação 1) deve ser igual ao limite que encontramos:
Igualando ao limite da esquerda:
Vamos simplificar essa equação:
çã
Passo 4
Agora, vamos garantir a continuidade em limx to 3^- f(x) = A (3)^2 - B (3) + 3 = 9A - 3B + 3 . Primeiro, calculamos o limite da segunda parte quando f(x) = 2x - A + B se aproxima de 3 pela esquerda ( f(3) = 2(3) - A + B = 6 - A + B ):
9A - 3B + 3 = 6 - A + B
Em seguida, olhamos para a terceira parte da função quando 10A - 4B = 3 (Equação 2) :
Então, o valor dessa parte em é:
Para a continuidade em , esses dois valores devem ser iguais:
Vamos simplificar essa equação:
çã
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas: