Demonstre a expressão para o campo magnético ao lado de fora de um fio (a uma distância r do centro de um fio de raio R, ou seja r>R ) através do qual passa uma densidade de corrente constante sobre área da seção transversal do fio). ( 2,0 pontos)

Passo 1

Estamos vendo um exercício de Física que pede para demonstrar a expressão do campo magnético fora de um fio, a uma distância do centro, onde (sendo o raio do fio). Vamos usar conceitos de Eletromagnetismo, especificamente a Lei de Ampère, e precisaremos entender como calcular o campo magnético gerado por uma corrente elétrica constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético ao redor de um caminho fechado com a corrente que passa por dentro desse caminho. A lei é dada por:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
Aqui, é o campo magnético, é um elemento infinitesimal do caminho fechado, é a permeabilidade do vácuo, e é a corrente total que passa pelo interior do caminho.

Passo 3

Como queremos encontrar o campo magnético fora do fio ( ), escolhemos nosso caminho de integração como um círculo de raio centrado no fio. Devido à simetria do problema, o campo magnético tem a mesma magnitude em todos os pontos desse caminho e é tangente ao círculo.

Passo 4

Com essa simetria, a integral da esquerda da Lei de Ampère simplifica para:
oint B cdot dl = B cdot 2pi r
Isso porque e são paralelos em todos os pontos, e o comprimento total do caminho é a circunferência do círculo, .

Passo 5

Agora, precisamos determinar a corrente encerrada I = J cdot pi R^2 . Como estamos fora do fio ( ), a corrente encerrada é a corrente total que passa pelo fio. Se a densidade de corrente é constante, , então a corrente total é:
Mas como é constante e não precisamos especificar seu valor para essa demonstração, podemos simplesmente usar como a corrente total.

Passo 6

Substituindo na Lei de Ampère:
B cdot 2pi r = mu0 I
Agora, isolamos B = mu0 I2pi r para encontrar a expressão do campo magnético:

Resposta

O campo magnético fora do fio, a uma distância B = mu0 I2pi r , é dado por:

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