Um objeto executa um MHS comperiodo de 0,900 s, e amplitude igual a 0,320 m Em t=0, o objeto está em x=0,320 me instantaneamente em repouso. Calcule o tempo gasto para o objeto passar a) de x=0,320 m para x =0,160 mb ) de x=0,160 m para x=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um objeto que está fazendo um Movimento Harmônico Simples (MHS). O período desse movimento é de 0,900 segundos e a amplitude é de 0,320 metros. No instante inicial (t = 0), o objeto está na posição máxima (x = 0,320 m) e parado. Precisamos descobrir quanto tempo o objeto leva para passar:
a) De x = 0,320 m para x = 0,160 m
b) De x = 0,160 m para x = 0 m
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o MHS, usar algumas fórmulas básicas e aplicar um pouco de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no Movimento Harmônico Simples, a posição do objeto em função do tempo é dada por:
x(t) = A cos(omega t + phi)
Onde:
  • x(t) = A cos(omega t) é a amplitude (0,320 m)
  • é a frequência angular
  • é a fase inicial
  • é o tempo
No nosso caso, como no instante inicial o objeto está na posição máxima e parado, a fase inicial é 0. Então a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a frequência angular omega = 2piT . Sabemos que:
omega = 2pi0,900 approx 6,981 , rad/s
Onde é o período (0,900 s).
Substituindo:

Passo 4

Vamos resolver a parte (a): encontrar o tempo que o objeto leva para ir de x = 0,320 m para x = 0,160 m.
Começamos substituindo na equação da posição:
0,160 = 0,320 cos(6,981 , t)
Dividindo ambos os lados por 0,320:
0,1600,320 = cos(6,981 , t)
0,5 = cos(6,981 , t)

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o ângulo cujo cosseno é 0,5. Sabemos que:
cos(pi3) = 0,5
Então:
6,981 , t = pi3
Isolando t = pi3 times 6,981 :
t approx 3,141620,943
t approx 0,15 , segundos

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): encontrar o tempo que o objeto leva para ir de x = 0,160 m para x = 0 m.
Usamos a mesma abordagem:
0 = 0,320 cos(6,981 , t)
Dividindo ambos os lados por 0,320:
0 = cos(6,981 , t)
O cosseno é zero quando o ângulo é 6,981 , t = pi2 ou t = pi2 times 6,981 , mas como estamos considerando o movimento do ponto 0,160 m para 0 m, usamos t approx 3,141613,962 :
t approx 0,225 , segundos
Isolando :

Resposta

a) O tempo gasto para o objeto passar de x = 0,320 m para x = 0,160 m é aproximadamente 0,15 segundos.
b) O tempo gasto para o objeto passar de x = 0,160 m para x = 0 m é aproximadamente 0,225 segundos.

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