Um objeto executa um MHS comperiodo de
, e amplitude igual a
, o objeto está em
instantaneamente em repouso. Calcule o tempo gasto para o objeto passar a) de
para x
) de
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um objeto que está fazendo um Movimento Harmônico Simples (MHS). O período desse movimento é de 0,900 segundos e a amplitude é de 0,320 metros. No instante inicial (t = 0), o objeto está na posição máxima (x = 0,320 m) e parado. Precisamos descobrir quanto tempo o objeto leva para passar:
a) De x = 0,320 m para x = 0,160 m
b) De x = 0,160 m para x = 0 m
b) De x = 0,160 m para x = 0 m
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o MHS, usar algumas fórmulas básicas e aplicar um pouco de trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no Movimento Harmônico Simples, a posição do objeto em função do tempo é dada por:
Onde:
-
é a amplitude (0,320 m) -
é a frequência angular -
é a fase inicial -
é o tempo
No nosso caso, como no instante inicial o objeto está na posição máxima e parado, a fase inicial
é 0. Então a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a frequência angular
. Sabemos que:
Onde
é o período (0,900 s).
Substituindo:
Passo 4
Vamos resolver a parte (a): encontrar o tempo que o objeto leva para ir de x = 0,320 m para x = 0,160 m.
Começamos substituindo na equação da posição:
Dividindo ambos os lados por 0,320:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o ângulo cujo cosseno é 0,5. Sabemos que:
Então:
Isolando
:
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b): encontrar o tempo que o objeto leva para ir de x = 0,160 m para x = 0 m.
Usamos a mesma abordagem:
Dividindo ambos os lados por 0,320:
O cosseno é zero quando o ângulo é
ou
, mas como estamos considerando o movimento do ponto 0,160 m para 0 m, usamos
:
Isolando
:
Resposta
a) O tempo gasto para o objeto passar de x = 0,320 m para x = 0,160 m é aproximadamente 0,15 segundos.
b) O tempo gasto para o objeto passar de x = 0,160 m para x = 0 m é aproximadamente 0,225 segundos.
b) O tempo gasto para o objeto passar de x = 0,160 m para x = 0 m é aproximadamente 0,225 segundos.