Demonstre que:
f)
f)
Passo 1
Ok, vamos lá! O que a gente precisa demostrar aqui é que a diferença entre a interseção de dois conjuntos
e
com um terceiro conjunto
é igual à interseção das diferenças individuais desses conjuntos com
. Basicamente, queremos provar que:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos, especificamente operações de interseção (
) e diferença (
).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada parte dessa equação. A interseção
representa todos os elementos que estão tanto em
quanto em
. A diferença
representa todos os elementos que estão em
mas não estão em
.
Passo 3
Para provar que dois conjuntos são iguais, precisamos mostrar que cada lado está contido no outro. Ou seja, mostrar que:
- Qualquer elemento que está em
também está em . - Qualquer elemento que está em
também está em .
Passo 4
Vamos começar com a primeira parte. Seja
um elemento em
. Isso significa que:
-
está em , ou seja, está em e em . -
não está em .
Passo 5
Como
está em
e não está em
, então
está em
. Da mesma forma, como
está em
e não está em
,
está em
.
Passo 6
Portanto,
está tanto em
quanto em
, o que significa que
está em
.
Passo 7
Agora, vamos mostrar a outra direção. Seja
um elemento em
. Isso significa que:
-
está em , ou seja, está em e não está em . -
está em , ou seja, está em e não está em .
Passo 8
Como
está em
e em
, então
está em
. Além disso, sabemos que
não está em
.
Passo 9
Portanto,
está em
.
Resposta
Assim, demonstramos que: