Prove por indução finita que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar, usando indução matemática, que para todo número natural
, a soma dos primeiros
números pares é igual a
. Ou seja, queremos mostrar que:
Para isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica que nos permite provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.
Passo 2
Base da Indução: Vamos começar verificando se a afirmação é verdadeira para
.
Calculando
:
Calculando
:
Como
e
, a base da indução está verificada.
Passo 3
Hipótese de Indução: Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número natural
. Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução e serve como base para provar que a afirmação também é verdadeira para
.
Passo 4
Passo Indutivo: Precisamos provar que, se a afirmação é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
. Vamos calcular
:
Substituindo a hipótese de indução
:
Isso mostra que:
O que confirma que a afirmação também é verdadeira para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, provamos que para todo número natural
:
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