Prove por indução finita que

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar, usando indução matemática, que para todo número natural , a soma dos primeiros números pares é igual a . Ou seja, queremos mostrar que:
Para isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica que nos permite provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.

Passo 2

Base da Indução: Vamos começar verificando se a afirmação é verdadeira para .
Calculando :
Calculando :
Como e , a base da indução está verificada.

Passo 3

Hipótese de Indução: Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número natural . Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução e serve como base para provar que a afirmação também é verdadeira para .

Passo 4

Passo Indutivo: Precisamos provar que, se a afirmação é verdadeira para , então ela também é verdadeira para . Vamos calcular :
Substituindo a hipótese de indução :
Isso mostra que:
O que confirma que a afirmação também é verdadeira para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, provamos que para todo número natural :

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