Demonstre que (f g)'' = f'' + 2 f' g' + f g'' e (f g)''' = f''' g + 3 f'' g' + 3 f' g'' + f g'''.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrarmos as derivadas segunda e terceira do produto de duas funções, ou seja, mostrar que:

e
Vamos precisar usar a regra do produto e a regra da derivação sucessiva. Vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra do produto para a primeira derivada:

Isso significa que a derivada do produto de duas funções é a primeira função multiplicada pela derivada da segunda, mais a segunda função multiplicada pela derivada da primeira.

Passo 3

Agora, para encontrar a segunda derivada , vamos derivar novamente :

Usando a regra da derivada da soma, derivamos cada termo separadamente.

Passo 4

Derivando o primeiro termo :

Aqui aplicamos a regra do produto novamente.

Passo 5

Derivando o segundo termo :

Mais uma vez, usamos a regra do produto.

Passo 6

Juntando os resultados dos passos 4 e 5:

Simplificando os termos semelhantes:

Passo 7

Agora, para a terceira derivada , vamos derivar novamente :

Vamos derivar cada termo separadamente.

Passo 8

Derivando :

Passo 9

Derivando :

Passo 10

Derivando :

Passo 11

Juntando os resultados dos passos 8, 9 e 10:

Simplificando os termos semelhantes:

Resposta

Assim, demonstramos que:

e

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