Demonstre que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrarmos as derivadas segunda e terceira do produto de duas funções, ou seja, mostrar que:
e
Vamos precisar usar a regra do produto e a regra da derivação sucessiva. Vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da regra do produto para a primeira derivada:
Isso significa que a derivada do produto de duas funções é a primeira função multiplicada pela derivada da segunda, mais a segunda função multiplicada pela derivada da primeira.
Passo 3
Agora, para encontrar a segunda derivada
, vamos derivar novamente
:
Usando a regra da derivada da soma, derivamos cada termo separadamente.
Passo 4
Derivando o primeiro termo
:
Aqui aplicamos a regra do produto novamente.
Passo 5
Derivando o segundo termo
:
Mais uma vez, usamos a regra do produto.
Passo 6
Juntando os resultados dos passos 4 e 5:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 7
Agora, para a terceira derivada
, vamos derivar novamente
:
Vamos derivar cada termo separadamente.
Passo 8
Derivando
:
Passo 9
Derivando
:
Passo 10
Derivando
:
Passo 11
Juntando os resultados dos passos 8, 9 e 10:
Simplificando os termos semelhantes:
Resposta
Assim, demonstramos que:
e
Exercícios relacionados
A identidade algébrica
pode ser demonstrada fazendo-se a divisão de
por
; ou por verificação direta, efetuando a multiplicação indicada no segundo membro. Troque
por
e
por
nessa identidade e utilize a nova identidade assim obtida para demonstrar a fórmula
.