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Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou a função . O conteúdo que vamos usar aqui envolve séries de potências e frações parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir essa função em uma série que a gente possa trabalhar facilmente, tipo uma série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a expansão. A função é . Notamos que isso é parecido com a fórmula da série geométrica, que é para .

Passo 3

Para usar a série geométrica, precisamos que o denominador da nossa função tenha a forma . Olhando para , percebemos que podemos pensar em . Assim, temos:

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da série geométrica onde , temos:
Isso funciona porque a série geométrica se aplica para , então aqui precisamos que , ou seja, .

Passo 5

Portanto, a expansão da nossa função em série de potências é:

Resposta

A expansão em série de potências de é:

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Demonstre que e .
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