.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou a função
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve séries de potências e frações parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir essa função em uma série que a gente possa trabalhar facilmente, tipo uma série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a expansão. A função é
. Notamos que isso é parecido com a fórmula da série geométrica, que é
para
.
Passo 3
Para usar a série geométrica, precisamos que o denominador da nossa função tenha a forma
. Olhando para
, percebemos que podemos pensar em
. Assim, temos:
Passo 4
Agora, aplicando a fórmula da série geométrica onde
, temos:
Isso funciona porque a série geométrica
se aplica para
, então aqui precisamos que
, ou seja,
.
Passo 5
Portanto, a expansão da nossa função
em série de potências é:
Resposta
A expansão em série de potências de
é:
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Demonstre que
e
.